Съдържание

МАО 2026, Теория, 11. клас — Задача 5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2026

LXXX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2026 г. 11 класс · 8 т.

Требования к оформлению решения

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана в явном «буквенном» виде, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

В далёком будущем был осуществлён амбициозный проект, позволивший увеличить площадь земной поверхности: на расстоянии $\frac{3}{4}R$ от центра Земли вырыли две диаметрально противоположные полости радиусами $\frac{R}{4}$ , а получившееся вещество равномерно распределили по всей поверхности. Считая, что Земля состоит из несжимаемого однородного материала, оцените, во сколько раз изменилась площадь поверхности Земли. Чему будет равна новая вторая космическая скорость на поверхности планеты и из какой точки планеты нужно будет стартовать?

Отговори

Решение

Сечение Земли: внутренний круг радиусом R (стрелка R от центра вправо), снаружи заштрихованный наращённый слой; на вертикальном диаметре на расстояниях 3R/4 от центра — две заштрихованные полости радиусом R/4. Из точки на поверхности проведены отрезки r′₂ к центру верхней полости, r′₁ к центру нижней и R′ к центру Земли; отмечены углы α, β у точки, угол γ у центра и синяя стрелка dl — направление перемещения вдоль поверхности.

Решение.

Сначала найдём объём одной полости $V_{hole}$ :

V_{hole} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{R}{4}\right)^3 = \frac{\pi}{48} R^3.

Теперь запишем объём сферического слоя, заключённого между внутренним и внешним слоями. Внешний радиус обозначим $R'$ . Тогда из условия равенства объёмов полостей и «наращенного» шарового слоя:

\frac{4}{3}\pi \left(R'^3 - R^3\right) = 2 \frac{\pi}{48} R^3.

Отсюда

\frac{4}{3}\pi R^3 \left(\frac{R'^3}{R^3} - 1\right) = 2 \frac{\pi}{48} R^3 \quad \Rightarrow \quad \frac{R'^3}{R^3} - 1 = \frac{1}{32} \quad \Rightarrow \quad \frac{R'}{R} = \sqrt[3]{\frac{33}{32}}.

Тогда площадь поверхности выросла в $\eta = \frac{R'^2}{R^2} \approx 1.021$ раз.

Обратим внимание, что, в силу малости объёма полости по сравнению с объёмом планеты, «наращенный» объём мог быть найден из более простого выражения:

4\pi R^2 \cdot (R' - R) \approx 2 \frac{\pi}{48} R^3 \quad \Rightarrow \quad \frac{R'}{R} = \frac{97}{96} \quad \Rightarrow \quad \eta = \frac{R'^2}{R^2} \approx 1.021.

Гравитационное поле получившейся планеты неоднородно. Тем не менее его (по аналогии с классическими задачами электростатики) можно представить в виде суммы трёх полей: поля однородного шара радиусом $R'$ и полей двух однородных шаров отрицательной массы на местах полостей. В таком случае в произвольной точке (см. рис.) гравитационный потенциал можно записать в виде:

\varphi = -\frac{GM_{R'}}{R'} + \frac{GM_{R/4}}{r_1'} + \frac{GM_{R/4}}{r_2'}.

Здесь $M_{R'}$ — масса шара радиуса $R'$ со средней плотностью Земли, как если бы полостей не существовало, $M_{R/4}$ — масса шаров той же плотности в объёме полостей, а $r_1'$ и $r_2'$ - расстояния до центров соответствующих полостей.

Вторая космическая — это минимальная скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно навсегда покинуло планету. Для того чтобы найти новую вторую космическую скорость для планеты, нам необходимо найти точку, потенциал в которой будет наибольшим (чем меньше потенциал, тем глубже потенциальная яма и тем труднее покинуть планету). Первое слагаемое в формуле потенциала не зависит от положения на поверхности новой Земли. Тогда нам нужно найти максимум суммы $\frac{1}{r_1'} + \frac{1}{r_2'}$ , выбирая произвольную точку на поверхности. Сразу заметим, что максимум будет достигаться в точности над одной из полостей, на поверхности Земли. Этот факт можно доказать несколькими способами. Приведём два из них.

Для анализа поведения суммы указанных дробей будет гораздо удобнее, если вместо двух неизвестных $r_1'$ и $r_2'$ мы сможем ввести одну. Заметим, что оба радиуса зависят от угла $\gamma$ :

r_1' = \sqrt{(R')^2 + \left(\frac{3}{4}R'\right)^2 - 2\frac{3}{4}(R')^2 \cos\gamma} = \sqrt{\frac{25}{16}(R')^2 - \frac{3}{2}(R')^2 \cos\gamma} = \sqrt{\frac{3}{2}(R')^2}\sqrt{\frac{25}{24} - \cos\gamma},

r_2' = \sqrt{(R')^2 + \left(\frac{3}{4}R'\right)^2 + 2\frac{3}{4}(R')^2 \cos\gamma} = \sqrt{\frac{25}{16}(R')^2 + \frac{3}{2}(R')^2 \cos\gamma} = \sqrt{\frac{3}{2}(R')^2}\sqrt{\frac{25}{24} + \cos\gamma},

Введем обозначения $A = \sqrt{\frac{3}{2}(R')^2}$ и $a = \frac{25}{24}$ , после чего вычислим производную:

\left(\frac{1}{r_1'} + \frac{1}{r_2'}\right)' = \frac{1}{A}\left(\frac{1}{\sqrt{a - \cos\gamma}} + \frac{1}{\sqrt{a + \cos\gamma}}\right)' = \frac{\sin\gamma}{2A}\left[(a + \cos\gamma)^{-3/2} - (a - \cos\gamma)^{-3/2}\right].

Производная обращается в ноль или при $\sin\gamma = 0$ , то есть $\gamma = 0$ или $\gamma = \pi$ , или когда нулю равно выражение в скобках. Последнее выполняется при $\cos\gamma = 0$ , то есть $\gamma = \pi/2$ . Нетрудно убедиться, что при $\gamma = 0$ или $\gamma = \pi$ достигается максимум функции, а при $\gamma = \pi/2$ — минимум.

Теперь докажем то же самое с помощью более физического подхода. Рассмотрим произвольную точку на поверхности сферы. Пусть потенциал в ней равен $\varphi_A$ . Переместимся в указанном на рисунке направлении вдоль сферы на расстояние $dl$ . Тогда удельная работа, совершенная верхней полостью при таком перемещении, будет отрицательна и равна:

dA_2 = \frac{GM_{R/4}}{r_2'^2} \cdot dl \cdot \cos(90^{\circ} - \alpha) = \frac{GM_{R/4}}{r_2'^2} dl \cdot \sin\alpha.

Аналогично работа, совершенная нижней полостью положительна и равна

dA_1 = \frac{GM_{R/4}}{r_1'^2} \cdot dl \cdot \cos(90^{\circ} - \beta) = \frac{GM_{R/4}}{r_1'^2} dl \cdot \sin\beta.

На выбранном промежутке $r_2' < r_1'$ . Тогда, если мы покажем $\sin\alpha > \sin\beta$ , то утверждение доказано. Для этого можно воспользоваться обычной теоремой синусов:

\frac{r_2'}{\sin\gamma} = \frac{\frac{3R}{4}}{\sin\alpha} \Rightarrow \sin\alpha = \sin\gamma \frac{3R}{4r_2'}.

Аналогично

\frac{r_1'}{\sin\gamma} = \frac{\frac{3R}{4}}{\sin\beta} \Rightarrow \sin\beta = \sin\gamma \frac{3R}{4r_1'}.

Иными словами:

\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{r_1'}{r_2'} \Rightarrow \sin\alpha > \sin\beta.

Что и требовалось доказать.

Для того чтобы скорость стартующего с поверхности была минимальна (и он смог улететь на бесконечность), стартовать надо именно из найденных двух точек. При этом само значение скорости может быть найдено из равенства нулю полной механической энергии системы. Учтём, что $M_{R/4} = \frac{M}{4^3} = \frac{M}{64}$ , а $M_{R'} = M + \frac{2M}{64} = \frac{33}{32}M$ :

\frac{v^2}{2} - \frac{GM}{R'} \cdot \frac{33}{32} + \frac{GM}{64\left(\frac{3R}{4} + R'\right)} + \frac{GM}{64\left(R' - R + \frac{R}{4}\right)} = 0,

v \approx \sqrt{2 \cdot 0.95 \frac{GM}{R}} \approx 10.9\ \text{км/с}.

Критерии проверки

Изменение площади поверхности Земли 2 балла
Формула для потенциала гравитационного поля 1 балл
2-я космическая как минимальная скорость для покидания планеты 1 балл
Найдены точки наиболее выгодного старта 2 балла
Формула для 2 космической скорости для нужных точек 1 балл
Правильный конечный ответ 1 балл

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(А. М. Ажакин)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800$ К
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли	$= 600$ Вт м $^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$=$ 23 ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 1 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \cdot 10^{12}$
Абсолютная звёздная величина нашей Галактики	$= -20.9^{\mathrm{m}}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^{3}$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Постоянная Планка	$h = 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж с
Постоянная Хаббла	H $= 74$ км с $^{-1}$ Мпк $^{-1}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Период полураспада свободного нейтрона	$= 609$ с
Астрономическая единица	1 а. е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек	1 пк $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^{x} \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: 11_prob.pdf · официални решения: 11_sol.pdf