Съдържание

МАО 2026, Теория, 11. клас — Задача 6

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2026

LXXX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2026 г. 11 класс · 8 т.

Требования к оформлению решения

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана в явном «буквенном» виде, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

Во время лунного затмения 7 сентября 2025 года Луна находилась в перигее орбиты, а минимальное расстояние центра Луны от оси тени составило 0.275 радиуса Земли (гамма-фактор затмения $\gamma = -0.275$ ). Момент максимальной фазы пришёлся на 18:11 по всемирному времени. Считайте орбиту Земли круговой, наклоном орбиты Луны к плоскости эклиптики пренебрегите.

Для фотографирования затмения астроном решил использовать телескоп с диаметром объектива $D = 200$ мм и фокусным расстоянием $F = 1$ м, установленный в точке с координатами $\varphi = 44^{\circ}$ с. ш., $\lambda = 43^{\circ}$ в. д. Телескоп оснащён ПЗС-матрицей $1024 \times 1024$ пикселей со стороной 10 мкм каждый. К несчастью, в день затмения автоматическое управление телескопом вышло из строя и телескоп раз в минуту снимал случайную область неба над горизонтом. Оцените вероятность того, что Луна в полной фазе затмения, пусть даже частично, всё же попала хотя бы на 1 кадр.

Отговори

Решение

Решение. Определим угловой размер кадра. Размер стороны ПЗС-матрицы равен $x = 1024 \cdot 10\ \text{мкм} = 10\,240\ \text{мкм}$ . Если смотреть из центра объектива, то этот размер виден под углом

\alpha = 2\,\mathrm{arctg} \frac{x}{2F} \approx \frac{x}{F}\ (\text{рад}) = \frac{x}{F} \cdot 206265'' \approx 2112''.

Получаем поле зрения телескопа $2112 \times 2112''$ или $\sigma_1 = 2112^2 = 4.46 \cdot 10^{6}$ квадратных секунд. Для того чтобы хотя бы край Луны попал в поле зрения, её центр должен находиться не дальше, чем на угловой радиус Луны $\rho_{\text{☾}}$ от края поля зрения. Поскольку Луна находится в перигее орбиты, её угловой радиус равен

\rho_{\text{☾}} = \frac{R_{\text{☾}}}{a_{\text{☾}}(1 - e_{\text{☾}})} \cdot 206\,265'' = \frac{1740\ \text{км}}{(1 - 0.055) \cdot 384\,400\ \text{км}} \cdot 206265 = 988''.

Здесь $R_{\text{☾}}$ — радиус Луны, а $a_{\text{☾}}$ и $e_{\text{☾}}$ — радиус и эксцентриситет её орбиты соответственно. Получается, что один снимок «проверяет» наличие Луны на квадратной площадке со скруглёнными углами, изображённой на рисунке.

Квадрат поля зрения со стороной α (сплошной), вокруг него пунктирный квадрат со стороной 2ρ☾ + α и сплошная фигура — квадрат со скруглёнными углами радиуса ρ☾; пунктирные окружности радиуса ρ☾ с центрами на краю области (слева и в правом верхнем углу) показывают крайние положения Луны.

Площадь пунктирного квадрата равна $\sigma_2 = (2\rho_{\text{☾}} + \alpha)^2 = 16.7 \cdot 10^{6}$ квадратных секунд. Площадь одного углового участка, который не входит в интересующую нас фигуру, равен $\sigma_3 = \rho_{\text{☾}}^2 - \frac{\pi}{4}\rho_{\text{☾}}^2$ . Следовательно, искомая площадь на $4\sigma_3 = (4 - \pi)\rho_{\text{☾}}^2$ меньше, чем $\sigma_2$ :

\Sigma = \sigma_2 - 4\sigma_3 = 15.9 \cdot 10^{6}\ \text{квадратных секунд}.

Площадь небесной полусферы равна $\Sigma_0 = 2\pi\ \text{ср} \approx 2.67 \cdot 10^{11}$ квадратных секунд. Тогда вероятность того, что в результате одного снимка получится заснять Луну равна

p_1 = \frac{\Sigma}{\Sigma_0} \approx 5.96 \cdot 10^{-5}

или 0.00596%. Прямо скажем, почти невероятное событие. Однако затмение продолжается довольно долго и телескоп успеет сделать не один снимок. Определим продолжительность затмения.

Пусть $R_{\odot}$ и $R_{\oplus}$ — соответственно радиусы Солнца и Земли, а $a_{\oplus}$ — радиус земной орбиты. Тогда длину земной тени $l$ можно найти из подобия треугольников (см. рисунок):

\frac{R_{\odot}}{l + a_{\oplus}} = \frac{R_{\oplus}}{l} \quad \Rightarrow \quad l = \frac{R_{\oplus} a_{\oplus}}{R_{\odot} - R_{\oplus}} \approx 1.38 \cdot 10^{6}\ \text{км}.

Схема земной тени: слева вершина конуса тени, касательная к Земле и Солнцу; подписаны длина тени l, расстояние до Луны a☾(1 − e☾), радиус тени r на этом расстоянии, радиус Земли R⊕, расстояние a⊕ до Солнца и радиус Солнца R☉; круги подписаны «Земля» и «Солнце».

В силу того, что угол при вершине тени очень мал, для поиска радиуса тени на расстоянии Луны $r$ можем воспользоваться приближенным соотношением:

\frac{r}{l - a_{\text{☾}}(1 - e_{\text{☾}})} = \frac{R_{\oplus}}{l} \quad \Rightarrow \quad r = R_{\oplus} \frac{l - a_{\text{☾}}(1 - e_{\text{☾}})}{l} \approx 4700\ \text{км}.

Большой круг «Тень» радиуса r и внутри два положения Луны (круги радиуса R☾) в моменты начала и конца полной фазы; расстояние между их центрами b, расстояние от центра тени до хорды d.

Луна будет двигаться внутри тени, пока не пройдёт относительно неё расстояние $b$ . Пусть $d = |\gamma| R_{\oplus}$ — минимальное расстояние от центра Луны до центра тени. Тогда

\frac{b}{2} = \sqrt{(r - R_{\text{☾}})^2 - d^2} \quad \Rightarrow \quad b = 2\sqrt{(r - R_{\text{☾}})^2 - \gamma^2 R_{\oplus}^2} \approx 4800\ \text{км}.

Скорость Луны в перигее равна

v_{\text{☾}} = \sqrt{\frac{GM}{a_{\text{☾}}} \frac{1 + e_{\text{☾}}}{1 - e_{\text{☾}}}} \approx 1.08\ \text{км/с}.

Если учесть, что сама тень также движется в ту же сторону, то скорость Луны относительно тени почти точно 1 км/с. Тогда время затмения $t = 4800$ с = 80 мин.

Проверим, всё ли время затмения Луна находилась над горизонтом. Среднее солнечное время середины затмения

T_{\odot} = 18^{h}\,11^{m} + \frac{43}{15} = 21^{h}\,03^{m}.

Следовательно, полная фаза затмения происходила с $20^{h}\,23^{m}$ по $21^{h}\,43^{m}$ . Поскольку во время лунного затмения Луна и Солнце находятся в противоположных точках небесной сферы, среднее солнечное время численно равно часовому углу Луны. 7 сентября склонения Солнца, а значит и Луны в затмении довольно близко к 0. Так как часовой угол попадает в диапазон от 18 до 6 часов, можем сделать вывод, что Луна над горизонтом всю полную фазу затмения.

Мы пришли к выводу, что телескоп сделал $N = 80$ снимков во время полной фазы. Если $p_1$ — это вероятность того, что, сделав единичный снимок, удалось сфотографировать Луну, то $\bar{p}_1 = 1 - p_1$ — это вероятность того, что сфотографировать Луну не удастся. Тогда вероятность того, что Луна не попала ни на один из $N$ снимков, равна $\bar{P} = \bar{p}_1^N$ . Следовательно, искомая вероятность

P = 1 - \bar{P} = 1 - (1 - p_1)^N \approx 1 - (1 - N p_1) = N p_1 \approx 4.8 \cdot 10^{-3}

или примерно 0.5%.

Эту же оценку можно получить приближенным способом. Будем считать, что снимки не перекрываются, а Луна не перемещается по небу. Тогда полная площадь, которую удаться исследовать телескопу равна $N\Sigma$ , а вероятность обнаружения

P^{*} = \frac{N\Sigma}{\Sigma_0} = N p_1 \approx 4.8 \cdot 10^{-3}.

Как видим, при таком малом покрытии неба это были вполне разумные допущения.

Критерии проверки

Поле зрения телескопа 1 балл
«Эффективное» поле зрение $\Sigma$ 1 балл
Радиус тени Земли на расстоянии Луны 1 балл
Расстояние, которое необходимо пройти Луне относительно тени 1 балл
Скорость Луны в перигее 1 балл
Продолжительность затмения 1 балл
Число кадров, сделанных за время затмения 1 балл Если не проведена проверка нахождения Луны над горизонтом всё время затмения, этот балл не выставляется.
Искомая вероятность 1 балл

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(Т. В. Мигаль)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800$ К
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли	$= 600$ Вт м $^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$=$ 23 ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 1 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \cdot 10^{12}$
Абсолютная звёздная величина нашей Галактики	$= -20.9^{\mathrm{m}}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^{3}$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Постоянная Планка	$h = 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж с
Постоянная Хаббла	H $= 74$ км с $^{-1}$ Мпк $^{-1}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Период полураспада свободного нейтрона	$= 609$ с
Астрономическая единица	1 а. е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек	1 пк $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^{x} \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: 11_prob.pdf · официални решения: 11_sol.pdf