Съдържание

МАО 2026, Теория, 11. клас — Задача 7

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2026

LXXX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2026 г. 11 класс · 12 т.

Требования к оформлению решения

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана в явном «буквенном» виде, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

Вы находитесь под очень тёмным небом с поверхностной яркостью $22^{\mathrm{m}}$ с квадратной угловой секунды. Для оценки ваших наблюдательных способностей воспользуйтесь экспериментальной зависимостью предельной яркости объектов, воспринимаемых человеческим глазом, от их углового размера, представленной на рисунке. Для построения этих графиков был проведён эксперимент, в котором фиксировались вспыхивающие объекты разного углового размера и яркости на разном фоне. На левом графике представлены результаты для коротких вспышек (0.5 мс), а на правом — для длинных (930 мс).

1. Определите поверхностную яркость самых тусклых «больших» объектов, например облаков в Млечном Пути, которые вы можете наблюдать на этом небе. Выразите эту поверхностную яркость в звёздных величинах с квадратной угловой минуты.

2. Это прекрасное небо вдохновило вас на наблюдения Очень Красивой Планетарной Туманности, для нашей задачи представляющей равномерно освещённый круг диаметром $3'$ и полной яркостью $11.9^m$ . Найдите минимальный диаметр объектива телескопа, который вам для этого необходим.

Для расчётов считайте, что диаметр зрачка равен 6 мм, и что поток от Веги в видимом диапазоне составляет $10^{6}$ фотонов на 1 см $^{2}$ в секунду.

Два графика под общим заголовком «Время вспышки»: левый — «0.5 мс», правый — «930 мс». По вертикали «Пороговое значение, lg квантов / с / кв.градус» (от 2 до 9), по горизонтали «Площадь объекта, кв. градусы» (логарифмическая шкала 001, 01, 1, 10, 100). Легенда «Яркость фона lg квантов / с / кв. градус»: 7.83 (ромбы), 5.94 (светлые кружки), 4.96 (квадраты), 3.65 (светлые треугольники), «Абсолютно тёмный фон» (тёмные кружки). Каждая серия — убывающая ломаная, выполаживающаяся при больших площадях.

Отговори

Решение

Изображение взято из книги Kolb H, Fernandez E, Jones B, Nelson R, editors. Webvision: The Organization of the Retina and Visual System [Internet]. Salt Lake City (UT): University of Utah Health Sciences Center; 1995–. PMID: 21413389 и адаптировано для условия задачи.

Решение. Для начала выведем формулу перевода величины с графика — количества квантов в секунду с квадратного градуса ( $Q$ ) — в звёздные величины с квадратной секунды ( $\mu$ ). Для этого воспользуемся информацией о том, что от Веги приходит $10^{6}$ фотонов ( $E_v$ ) в видимом диапазоне на 1 см $^{2}$ . Диаметр зрачка ( $D$ ) примем равным 6 мм. Тогда количество квантов, падающих на зрачок от Веги за 1 с, будет равно:

N_v = E_v \cdot \frac{\pi}{4} D^2,

а количество квантов с квадратной угловой секунды от источника с графика:

N_{as} = \frac{E}{3600^2}.

В последней формуле коэффициент в знаменателе служит для перевода квадратных градусов в квадратные секунды. Поверхностную яркость в звёздных величинах с угловой секунды можно определить, сравнивая значение на графике с Вегой с помощью формулы Погсона:

\mu_{as} = -2.5 \lg\left(\frac{N_{as}}{N_v}\right) = -2.5 \lg\left(\frac{E \cdot \frac{1}{3600^2}}{E_v \cdot \frac{\pi}{4} D^2}\right) = -2.5 \lg E + 2.5 \lg\left(\frac{3600^2 \cdot \pi E_v D^2}{4}\right) \approx -2.5 \lg E + 31.41.

Здесь мы приняли значение звёздной величины Веги равным $0^{\mathrm{m}}$ , что близко к истине. Для дальнейших вычислений полезно найти и обратную формулу:

E = 10^{-0.4\mu} \cdot E_v \cdot \frac{\pi}{4} D^2 \cdot 3600^2 \approx 3.66 \cdot 10^{12} \cdot 10^{-0.4\mu_{as}},

или, принимая во внимание то, что непосредственно на график нанесены логарифмы $E$ :

\lg E = 0.4(31.41 - \mu_{as}).

Теперь мы можем получить поверхностную яркость нашего неба в единицах графика, и это 5800 фотонов или логарифм 3.76. Ближе всего к этому значению на графике зависимость, отмеченная серыми треугольниками. Время накопления сигнала глазом примерно 50–100 миллисекунд. Поэтому левый график, на котором представлены данные из наблюдений коротких (0.5 мс) вспышек, для наших целей не годится; будем использовать правый. Необходимые нам значения лежат чуть выше (10% расстояния до следующей кривой) кривой на графике, проведённой через треугольные маркеры.

Из графика получаем, что логарифм дополнительного числа фотонов для самых больших объектов равен примерно 3. Что соответствует поверхностной яркости $23.9^{\mathrm{m}}$ с квадратной секунды (естественно, без фона), или $\mu_{am} = \mu_{as} - 2.5 \lg 60^2 \approx 14.7^{\mathrm{m}}$ с квадратной угловой минуты.

Яркость Млечного Пути в направлениях, противоположных центру Галактики, составляет примерно $23^m$ . Полученная же величина совпадает с поверхностной яркостью слабых частей галактик, видимых в телескоп. Также в описанном эксперименте использовался вспыхивающий объект, который легче обнаружить, чем светящийся постоянно.

Теперь нам необходимо пронаблюдать Очень Красивую Планетарную Туманность. Посчитаем её поверхностную яркость.

\mu_{\text{ОКПТ}} = 11.9^m + 2.5 \lg\left(\frac{\pi}{4} \cdot 3^2 \cdot 60^2\right) \approx 22.9^{\mathrm{m}}

с квадратной секунды. Логарифм количества фотонов с квадратного градуса составляет $\lg E = 0.4 \cdot (31.41 - 22.9) \approx 3.4$ . На графике это соответствует логарифму угловой площади примерно 0.3–0.4, или кругу радиусом $96'$ – $107'$ , что соответствует увеличению в 32–36 раз при сохранении поверхностной яркости. Если телескоп идеальный, то он сохраняет поверхностную яркость при равнозрачковом увеличении (уменьшая её при увеличении больше равнозрачкового). Соответственно, при таком увеличении, если оно равнозрачковое, диаметр телескопа составляет 200 мм.

Можно заметить, что при увеличении увеличения уменьшится поверхностная яркость, но увеличится чувствительность глаза, и, возможно, с помощью этого эффекта можно понизить диаметр телескопа. Однако наша туманность расположена на изломе кривой, и при дальнейшем увеличении углового размера чувствительность глаза увеличивается слабо, поэтому мы пренебрежём этим эффектом.

Более подробно почитать о работе человеческого зрения и увидеть представленный график в тексте можно здесь.

Критерии проверки

Формула перевода из квантов в секунду с квадратного градуса в звёздные величины с квадратной секунды или наоборот 3 балла Сравнение с Вегой — 1 балл, вывод формулы — 2 балла.
Выбор правильной стороны рисунка (по времени вспышки) 1 балл
Расчёт фона неба и выбор правильной кривой чувствительности 1 + 1 балл
Расчёт поверхностной яркости самых слабых объектов 2 балла
Расчёт поверхностной яркости ОКПТ 1 балл
Телескоп не увеличивает поверхностную яркость 1 балл В равной степени оценивается как вывод этого утверждения, так и его неявное использование.
Расчёт увеличения телескопа и его диаметра 1 + 1 балл При попытке рассчитывать диаметр через формулу для предельной звёздной величины точечного источника ( $2.1 + 5 \lg D$ и аналоги) за весь второй вопрос задачи ставится один балл

Максимальная оценка за задачу 12 баллов.

(С. Г. Желтоухов)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800$ К
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли	$= 600$ Вт м $^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$=$ 23 ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 1 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \cdot 10^{12}$
Абсолютная звёздная величина нашей Галактики	$= -20.9^{\mathrm{m}}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^{3}$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Постоянная Планка	$h = 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж с
Постоянная Хаббла	H $= 74$ км с $^{-1}$ Мпк $^{-1}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Период полураспада свободного нейтрона	$= 609$ с
Астрономическая единица	1 а. е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек	1 пк $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^{x} \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: 11_prob.pdf · официални решения: 11_sol.pdf