Съдържание

МАО 2026, Теория, 11. клас — Задача 8

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2026

LXXX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2026 г. 11 класс · 12 т.

Требования к оформлению решения

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана в явном «буквенном» виде, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

Метод расширяющихся оболочек — это метод определения расстояний до сверхновых второго типа. Метод основан на предположении, что разлетающаяся оболочка сверхновой излучает как чёрное тело, начиная примерно с 5–10-го дня после взрыва. Последующие исследования показали, что излучение оболочки близко к чернотельному и отличается на безразмерный коэффициент дилюции $\xi^2$ , который равен отношению принимаемого потока излучения от объекта $F$ к потоку от абсолютно чёрного тела с такими же температурой и радиусом:

\xi^2 = \frac{F}{F_{bb}}.

В таблицах вам предоставлены данные фотометрии сверхновой в фильтрах V и B и скорости разлёта оболочки после вспышки, а также зависимость болометрической поправки $BC$ в полосе V от температуры. Время указано от момента максимума блеска. На графике показана зависимость коэффициента $\xi$ от температуры, выраженной в тысячах кельвин.

Время, дни	Скорость, км/с	Видимая зв. вел. в фильтре V	Видимая зв. вел. в фильтре B
7.9	10276	13.81	13.80
8.9	9721	13.79	13.80
9.9	8981	13.79	13.82
10.9	8410	13.79	13.84
11.9	8314	13.81	13.88
12.9	8026	13.84	13.92
13.8	8080	13.84	13.95
14.4	7642	13.86	13.98
15.4	7221	13.85	14.01
16.1	7215	13.84	14.04
26.4	5611	13.86	14.47
29.4	5110	13.88	14.58
31.4	4902	13.90	14.65
35.4	4623	13.94	14.79
39.4	4310	13.93	14.87
42.6	3809	13.92	14.93
45.4	3785	13.93	14.97
49.4	3836	13.91	15.00
42.4	3747	13.93	15.05
54.3	3500	13.94	15.08
81.4	2714	14.04	15.40
70.3	2430	14.26	15.72
101.3	2504	14.28	15.74

График зависимости коэффициента ξ (по вертикали, деления 0.4–1.4) от температуры T (kK) (по горизонтали, деления 4, 8, 12, 16, 20): точки наблюдений и сглаживающая кривая, круто падающая от ξ ≈ 1.5 при 5 kK до ≈ 0.45 около 10–12 kK и далее почти постоянная ≈ 0.43.

$T$ , К	$BC$	$T$ , К	$BC$	$T$ , К	$BC$
3500	−2.30	7000	0.03	10500	−0.36
4000	−1.12	8000	0.02	11000	−0.47
4500	−0.60	8500	0.00	11500	−0.58
5000	−0.29	9000	−0.06	12000	−0.68
5500	−0.14	9500	−0.15	13000	−0.89
6000	−0.04	10000	−0.25	14000	−1.07

Для оценки температуры абсолютного чёрного тела воспользуйтесь зависимостью

T = 4600\left(\frac{1}{0.92(B - V) + 1.7} + \frac{1}{0.92(B - V) + 0.62}\right).

Определите расстояние до сверхновой, считая, что она видна высоко над плоскостью Млечного Пути.

Подсказка. В первые десятки дней оболочка расширяется практически в пустоте, не взаимодействуя с межзвёздной средой, так как она была выметена излучением звезды — прародительницы сверхновой.

Отговори

Решение

Решение. Светимость абсолютно чёрного тела можно определить с помощью формулы

L_{bb} = 4\pi R^2 \sigma T^4,

где $R$ — радиус тела, $T$ — его температура, а $\sigma$ — постоянная Стефана — Больцмана. В условии сказано, что светимость оболочки отличается от этой величины на коэффициент $\xi^2$ :

L = \xi^2 L_{bb} = \xi^2 4\pi R^2 \sigma T^4.

Для вычисления $L$ нам необходимо определить три величины: $\xi$ , $R$ и $T$ .

Нам известно, что оболочка расширяется в вакууме, то есть разлетающееся вещество не тормозится. При этом из таблицы видно, что скорость оболочки непрерывно уменьшается. Происходит это потому, что оболочка — это не тонкая сферическая поверхность; она заполнена веществом. Каждый нижележащий слой разлетающейся оболочки летит с меньшей скоростью, чем верхний. Сначала мы видим самый верхний слой оболочки, выполняющий роль фотосферы. Со временем он высвечивает энергию, остывает и становится оптически прозрачным. Тогда наблюдениям становится доступен более низкий, а следовательно, более медленный слой, который принимает на себя функции фотосферы. Таким образом, для каждого момента времени в таблице указана скорость расширения того слоя, излучение которого принимается.

Поскольку в условии задачи временной ряд данных представлен от момента взрыва, то радиус оболочки можно определить по данным из таблицы.

R_i = v_i \cdot t_i,

где $v_i$ — скорость слоя оболочки, $t_i$ — время от момента взрыва.

Примечание. В общем случае, учёные решают согласованную задачу, определяя одновременно расстояния до объекта и момент начала разлёта оболочки, поскольку момент начала вспышки обычно неизвестен.

Возможная ошибка, которую может совершить участник. Возможно представить модель, что скорость расширения оболочки замедляется, поэтому стоит рассчитывать расстояние по формуле

R_i = R_{i-1} + v_i \Delta t_i.

Как показано выше, такая модель неверна и приведёт к неверному результату.

Температуру излучающего слоя в каждый момент времени $T_i$ , излучение которого мы видим, можно определить по заданной в условии зависимости, вычислив предварительно показатель цвета $(B - V)_i$ .

Зная температуру, можем определить фактор дилюции, а точнее, поправочный коэффициент расстояния $\xi$ . Для этого воспользуемся данным графиком зависимости $\xi(T)$ . Запишем в таблицу результаты проведённых измерений.

$T$ , К	$\xi$
10 000	0.54
9 000	0.59
8 000	0.66
7 000	0.78
6 000	0.96
5 500	1.08
5 300	1.16
5 000	1.26
4 750	1.37

Стоит отметить, что при уменьшении температуры ниже 6000 К $\xi$ начинает быстро расти, что уменьшает точность определения этой величины, а для температур ниже 4750 К — выходит за границы графика.

Примечание. Астрофизическое обоснование этого роста следующее. Если рассматривать оболочку по массовой координате, а не по радиальной, то фотосфера движется внутрь сброшенной оболочки к центру, а снаружи (между фотосферой и наблюдателем) становится всё больше и больше холодного вещества, богатого металлами. Оно прозрачно для непрерывного излучения, но в линиях поглощения металлов уже непрозрачно. Поэтому излучение перераспределяется по спектру в красную область и постепенно перестаёт быть похожим на чернотельное. Формально фактор дилюции это учитывает, но одного этого параметра для корректных вычислений для низких температур становится мало.

Занесём вычисленные $\xi$ , $R$ и $T$ в таблицу для каждого момента времени, а также вычислим светимость $L_i$ , выразив её в светимостях Солнца $L_{\odot}$ .

Следующий шаг — это определение абсолютной звёздной величины:

M_i = M_{\odot} - 2.5 \lg \frac{L_i}{L_{\odot}}.

Здесь мы воспользовались абсолютной звёздной величиной Солнца, которая приведена в справочных данных: $M_{\odot} = 4.72^m$ . Зная видимую ( $V$ ) и абсолютную звёздные величины, можно определить расстояние до сверхновой для каждого момента времени. Но сначала обратим внимание, что нам известны болометрические абсолютные звёздные величины, а видимые только в фильтрах V и B. Для перевода звёздных величин в полосе V нужно воспользоваться болометрической поправкой. Если для температур 6000–9000 К эта поправка невелика и её неучёт не приведёт к заметной ошибке, то за пределами этого диапазона ошибка будет достаточно заметна. Отдельно стоит отметить, что в условии даны поправки к фильтру V. Использование звёздной величины в фильтре B для определения расстояния неправильно.

M_i - V_i - BC_i = 5 - 5 \lg r_i \qquad \Rightarrow \qquad r_i = 10^{0.2(V_i + BC_i + 5 - M_i)}.

Результаты всех вычислений сведём в таблицу. Радиус оболочки будем вычислять в радиусах Солнца $R_{\odot}$ , а светимость — в светимостях Солнца. Мы не включаем строки, для которых невозможно определить из графика поправочный коэффициент расстояния ( $T < 4750$ К).

Дни	$v$ , км/с	$V$	$B$	$B - V$	$T$ , K	$\xi$	$R, R_{\odot}$	$L, L_{\odot}$	$M$	$BC$	$r$ , Мпк
7.9	10276	13.81	13.80	−0.01	10252	0.53	10470	$3.0 \cdot 10^{8}$	−16.49	−0.31	10.0
8.9	9721	13.79	13.80	0.01	10002	0.54	10740	$3.0 \cdot 10^{8}$	−16.47	−0.25	10.0
9.9	8981	13.79	13.82	0.03	9766	0.55	11037	$3.0 \cdot 10^{8}$	−16.47	−0.20	10.3
10.9	8410	13.79	13.84	0.05	9542	0.56	11380	$3.0 \cdot 10^{8}$	−16.47	−0.16	10.5
11.9	8314	13.81	13.88	0.07	9328	0.57	12282	$3.3 \cdot 10^{8}$	−16.58	−0.12	11.3
12.9	8026	13.84	13.92	0.08	9226	0.58	12853	$3.5 \cdot 10^{8}$	−16.65	−0.10	11.9
13.8	8080	13.84	13.95	0.11	8932	0.59	13842	$3.8 \cdot 10^{8}$	−16.72	−0.05	12.7
14.4	7642	13.86	13.98	0.12	8839	0.60	13661	$3.6 \cdot 10^{8}$	−16.68	−0.04	12.6
15.4	7221	13.85	14.01	0.16	8486	0.62	13805	$3.4 \cdot 10^{8}$	−16.61	0.00	12.4
16.1	7215	13.84	14.04	0.20	8163	0.65	14420	$3.4 \cdot 10^{8}$	−16.62	0.01	12.4
26.4	5611	13.86	14.47	0.61	5929	0.97	18389	$3.5 \cdot 10^{8}$	−16.64	−0.05	12.3
29.4	5110	13.88	14.58	0.70	5602	1.06	18650	$3.4 \cdot 10^{8}$	−16.60	−0.12	11.8
31.4	4902	13.90	14.65	0.75	5436	1.11	19108	$3.4 \cdot 10^{8}$	−16.62	−0.16	11.8
35.4	4623	13.94	14.79	0.85	5134	1.21	20316	$3.7 \cdot 10^{8}$	−16.70	−0.25	12.0
39.4	4310	13.93	14.87	0.94	4892	1.30	21080	$3.8 \cdot 10^{8}$	−16.74	−0.36	11.5
42.6	3809	13.92	14.93	1.01	4719	1.38	20143	$3.4 \cdot 10^{8}$	−16.61	−0.46	10.3

Полученные значения расстояния несколько отличаются для разных измерений. Это ожидаемо, поскольку исходные экспериментальные данные содержали погрешности. Поэтому итоговым значением будет среднее значение расстояния

\bar{r} = \frac{1}{N}\sum_{1}^{N} r_i = 11.5\ \text{Мпк}.

Для оценки погрешности сначала вычислим стандартное отклонение

s_r = \sqrt{\frac{1}{N - 1}\sum_{i=1}^{N}(r_i - \bar{r})^2} = 0.96\ \text{Мпк}.

Погрешность среднего значения равна

\sigma_{\bar{r}} = \frac{s_r}{\sqrt{N}} = 0.2\ \text{Мпк}.

Итоговый ответ задачи $\bar{r} = 11.5 \pm 0.2$ Мпк.

Критерии проверки

Определение радиуса фотосферы оболочки для каждого из моментов 1 балл
Определение показателя цвета 1 балл
Определение температуры фотосферы 1 балл
Определение из графика фактора дилюции 2 балла Если сделано более чем для 7 точек с точностью лучше 10% выставляется полный балл, иначе не более 1 балла.
Определение болометрической поправки 1 балл
Расчёт расстояния для 10-17 точек 4 балла Выставляется полностью, если они верны с точностью до 5% к представленным в решении
Итоговый ответ в виде среднего и его ошибки 1 + 1 балл Если в решении участника расстояние определяется по одной точке, то максимальная оценка за задачу 4 балла при полностью правильной последовательности действий и ответе. При 2–4 точках максимальная оценка 6 баллов, при верном итоговом ответе.

Максимальная оценка за задачу 12 баллов.

(В. Б. Игнатьев, П. В. Бакланов)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800$ К
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли	$= 600$ Вт м $^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$=$ 23 ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 1 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \cdot 10^{12}$
Абсолютная звёздная величина нашей Галактики	$= -20.9^{\mathrm{m}}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^{3}$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Постоянная Планка	$h = 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж с
Постоянная Хаббла	H $= 74$ км с $^{-1}$ Мпк $^{-1}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Период полураспада свободного нейтрона	$= 609$ с
Астрономическая единица	1 а. е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек	1 пк $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^{x} \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: 11_prob.pdf · официални решения: 11_sol.pdf