МАО 2026, Теория, 7. клас — Задача 1

• 1.974 s

  Период равен НОД интервалов между импульсами: 1974 мс = 1.974 с.

Решение. Импульсы регистрируются телескопом через произвольное число периодов пульсара $P$. Пусть $t_{12} = 260.568$ с — это время между приходом первого и второго импульсов, $t_{23} = 349.398 - 260.568 = 88.83$ с — время между вторым и третьим импульсами, а $t_{34} = 1731.198 - 349.398 = 1381.8$ с — между третьим и четвёртым. Тогда $t_{12} = nP$, $t_{23} = mP$ и $t_{34} = kP$, где $n$, $m$ и $k$ — натуральные числа.

Разделим $t_{12}$ и $t_{23}$ на $t_{34}$. Тогда

Кроме того

Заметим, что делителями числа $n$ выступают числа 33 и 44. Разложим их на простые множители: $33 = 3 \cdot 11$ и $44 = 2 \cdot 2 \cdot 11$. Можно сделать вывод, что $n$ как минимум содержит множители 3, 4 и 11, а его минимальное значение $n = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 132$. Тогда искомый период равен $260.568 \div 132 = 1.974$ с. Точно также можно сделать вывод, что минимально возможное значение $m = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 45$, откуда следует тот же период $88.83 \div 45 = 1.974$ с.

Осталось проверить таким же образом число $k$. Его минимальное значение $k = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 700$, а искомый период $1381.8 \div 700 = 1.974$ с.

Можно решить эту же задачу другим способом, который может показаться проще. Переведём значения задержек импульсов, данных в условии в миллисекунды, чтобы получить целочисленные значения: 260 568, 349 398 и 1 731 198. Тогда искомое значение периода будет равно наибольшему общему делителю этих трёх чисел. Для нахождения НОД воспользуемся алгоритмом Евклида:

Критерии проверки

1. Явно показано, что нужно искать НОД интервалов между импульсами 4 балла

   Или иное равносильное правильное утверждение.

2. Получен правильный ответ 4 балла

   Если вычисления в решении не показаны, то по этому критерию выставляется 2 балла.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(Е. Н. Фадеев)