Съдържание

МАО 2026, Теория, 8. клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2026

LXXX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2026 г. 8 класс · 8 т.

Требования к оформлению решения

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана в явном «буквенном» виде, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

В 1838 году Фридрих Вильгельм Бессель впервые измерил годичный параллакс звезды 61 Лебедя. Измеренное им значение составило $p_{\text{Б}} = 0.3136''$ ; при этом астроном указал, что свет от звезды до Земли идёт 10.28 года. Опираясь на эти данные и учитывая, что в ту эпоху горизонтальный параллакс Солнца на экваторе принимался равным $\pi_{\odot} = 8.6''$ , найдите величину скорости света, которую использовал Бессель, в астрономических единицах за год и в километрах в секунду. Современное значение параллакса этой звезды $p_0 = 0.2860''$ . Во сколько раз дольше идёт свет от 61 Лебедя, чем предполагал Бессель?

Отговори

Решение

Решение. Зная параллакс, мы можем определить расстояние до звезды в парсеках и астрономических единицах:

L_{\text{Б}} = \frac{1}{p_{\text{Б}}}(\text{пк}) = \frac{206265}{p_{\text{Б}}}(\text{а. е.}),

где 206 265 — число астрономических единиц в парсеке (а также число угловых секунд в радиане). Подставив численное значение $p_{\text{Б}}$ , получим $L_{\text{Б}} = 3.189\ \text{пк} = 657\,700\ \text{а. е.}$ Тогда скорость света, использованная Бесселем, равна

c_{\text{Б}} = \frac{657700}{10.28} \approx 63\,980\ \text{а. е./год}.

К XIX веку фигура Земли была измерена столь хорошо, что уже было известно отличие полярного и экваториального радиусов, поэтому можем смело использовать значение радиуса Земли $R_{\oplus}$ из справочных данных. Тогда расстояние до Солнца равно

a_{\text{Б}} = \frac{R_{\oplus}}{\pi_{\odot}} \cdot 206\,265 = \frac{6370}{8.6} \cdot 206\,265 = 152\,800\,000\ \text{км}.

Тогда скорость света в километрах в секунду

c_{\text{Б}} = \frac{63\,980\ \text{а. е.} \cdot 152\,800\,000\ \text{км}}{1\ \text{год} \cdot 365.25\ \text{сут/год} \cdot 86\,400\ \text{с/сут}} = 310\,000\ \text{км/с}.

Полученное нами значение даже ближе к современному, чем значение, определённое спустя 11 лет в лабораторном эксперименте Физо.

Ответим на последний вопрос задачи. Современное значение расстояние до 61 Лебедя равно

L = \frac{1}{p_0} = 3.496\ \text{пк} = 3.496 \cdot 3.262\ \text{св. лет} = 11.40\ \text{св. лет}.

Следовательно, свет от звезды идёт 1.1 раза дольше, чем предсказал Бессель.

Возможная ошибка. Для определения расстояния до звезды в километрах для измерения Бесселя неправильно использовать стандартную величину парсека в километрах $1\ \text{пк} = 3.086 \cdot 10^{13}\ \text{км}$ , поскольку это значение неявно использует современную величину астрономической единицы.

Критерии проверки

Расстояние до звезды в а. е. по Бесселю 1 балл
Скорость света в а. е./год по Бесселю 2 балла
Расстояние до Солнца по Бесселю 1 балл
Скорость света в км/с по Бесселю 2 балла

Если для пересчёта астрономических единиц в километры используется современное значение астрономической единицы, баллы за пп. 3 и 4 не выставляются.
Современное расстояние до звезды 1 балл
Во сколько раз дольше идёт свет от 61 Лебедя, чем предполагал Бессель 1 балл

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(Е. Н. Фадеев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца $L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}\ \text{Вт}$

Видимая звёздная величина Солнца $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$

Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$

Эффективная температура Солнца $T_{\odot} = 5800\ \mathrm{K}$

Солнечная постоянная $E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$

Тропический год $= 365.24219\ \text{сут}$

Звёздные сутки $T_{☾} = 23\ \text{ч}\ 56\ \text{мин}\ 04\ \text{с}$

Наклон экватора к эклиптике $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$

Средняя плотность Земли $\rho_{\oplus} = 5515\ \text{кг/м}^3$

Синодический месяц $S_{☾} = 29.530\,59\ \text{сут}$

Видимая звёздная величина полной Луны $m_{☾} = -12.7^{\mathrm{m}}$

Число звёзд в нашей Галактике $= 1 \cdot 10^{11}$

Радиус диска нашей Галактики $= 20\ \text{кпк}$

Масса нашей Галактики (в массах Солнца) $= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная $G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \text{м}^3\,\text{кг}^{-1}\,\text{с}^{-2}$

Скорость света в вакууме $c = 2.998 \cdot 10^{8}\ \text{м}\,\text{с}^{-1}$

Масса протона $m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}\ \text{кг}$

Масса электрона $m_{\mathrm{e}} = 9.11 \cdot 10^{-31}\ \text{кг}$

Астрономическая единица $1\ \text{а. е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \text{м}$

Парсек $1\ \text{пк} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \text{м}$

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Радиус орбиты, а.е.	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце			$1.989\times10^{30}$	696	25.38 сут.
Меркурий	0.3871	87.97 сут.	$3.302\times10^{23}$	2.44	58.65 сут.
Венера	0.7233	224.70 сут.	$4.869\times10^{24}$	6.05	243.02 сут.
Земля	1	365.26 сут.	$5.974\times10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	27.32 сут.	$7.348\times10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	686.98 сут.	$6.419\times10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	11.862 лет	$1.899\times10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	29.458 лет	$5.685\times10^{26}$	60.3	10.66 ч
Титан	0.008 17	15.945 сут	$1.345\times10^{23}$	2.57	15.945 сут.
Уран	19.1914	84.01 лет	$8.683\times10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	164.79 лет	$1.024\times10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: 8_prob.pdf · официални решения: 8_sol.pdf