Съдържание

МАО 2026, Теория, 8. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2026

LXXX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2026 г. 8 класс · 8 т.

Требования к оформлению решения

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана в явном «буквенном» виде, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

Астроном на спутнике Юпитера Амальтея проводит регулярные наблюдения спутника Ио в моменты, когда Ио располагается на небе в противоположном Юпитеру направлении. Однажды он в нужный момент не смог увидеть Ио на небе. Определите, как часто проводит наблюдения за Ио астроном и спустя какое минимальное время он опять не сможет во время таких наблюдений разглядеть Ио. Считайте, что спутники движутся в плоскости экватора Юпитера, а ось вращения планеты перпендикулярна плоскости его орбиты.

Спутник	Радиус орбиты, км	Период обращения
Амальтея	181 400	12 ч
Ио	421 800	1.7627 сут

Отговори

Решение

Решение. Промежуток времени между последовательными противостояниями Ио для наблюдателя на Амальтее — это синодический период движения Ио относительно Амальтеи. Используем уравнение синодического движения, связывающее звёздные периоды обращения Амальтеи $T_{\text{А}}$ и Ио $T_{\text{И}}$ с их синодическим периодом $S_{\text{АИ}}$ :

\frac{1}{S_{\text{АИ}}} = \frac{1}{T_{\text{А}}} - \frac{1}{T_{\text{И}}} \quad\Rightarrow\quad S_{\text{АИ}} = \frac{T_{\text{И}} \cdot T_{\text{А}}}{T_{\text{И}} - T_{\text{А}}} = \frac{1.7627 \cdot 0.5}{1.7627 - 0.5} \approx 0.7\ \text{сут} \approx 16\ \text{ч}\ 45\ \text{мин}.

Таким образом, астроном проводит наблюдения примерно каждые 16.8 часа.

Во время противостояния Ио может быть не видим с Амальтеи по одной причине: спутник находится в тени Юпитера. Поскольку Юпитер движется вокруг Солнца, промежуток времени между последовательными вхождениями Ио в тень будет больше орбитального периода Ио, но незначительно из-за очень большого орбитального периода Юпитера.

Определим долю орбиты Ио, которая расположена в тени Юпитера. Будем считать, что тень Юпитера имеет форму цилиндра. Ниже мы проверим, насколько это приближение верно.

Схема вида сверху: в центре закрашенный круг Юпитера радиуса $R_{\text{Ю}}$, две концентрические окружности — «Орбита Амальтеи» (внутренняя) и «Орбита Ио» (внешняя). От Юпитера вверх идёт полоса тени шириной в диаметр планеты; из центра Юпитера к точкам пересечения границ тени с орбитой Ио проведены радиусы $a_{\text{И}}$, угол между ними обозначен $\alpha$, дуга орбиты Ио в тени выделена жирной линией; у края Юпитера отмечен прямой угол. Подписи: «Юпитер», «Орбита Ио», «Орбита Амальтеи», $R_{\text{Ю}}$, $a_{\text{И}}$, $\alpha$.

Длина дуги орбиты, оказавшаяся в тени, в угловой мере можно посчитать разными способами. Из прямоугольного треугольника, образованного границей тени и радиусами Юпитера $R_{\text{Ю}}$ (дан в справочных данных) и орбиты Ио $a_{\text{И}}$ , воспользовавшись определением синуса, получим

\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{R_{\text{Ю}}}{a_{\text{И}}} \quad\Rightarrow\quad \alpha = 2\arcsin\frac{R_{\text{Ю}}}{a_{\text{И}}} \approx 19^{\circ}.

Можно изначально предположить, что угол $\alpha$ невелик, а вырезаемая им дуга орбиты примерно равна ширине тени. Тогда

\alpha \approx 2 \cdot \frac{R_{\text{Ю}}}{a_{\text{И}}} \approx 0.33\ \text{рад} \approx 19^{\circ}.

Время, которое Ио проводит в тени Юпитера, равно

t = \frac{\alpha}{360} \cdot T_{\text{И}} \approx 0.093\ \text{сут} \approx 2.2\ \text{ч}.

Если изначально предполагать, что длина участка орбиты, находящегося в тени, равна ширине тени, то искомое время можно найти, вообще не вычисляя угол $\alpha$ , сравнив эту величину с длиной орбиты Ио:

t = \frac{2R_{\text{Ю}}}{2\pi a_{\text{И}}} \cdot T_{\text{И}} \approx 2.2\ \text{ч}.

Какие неучтенные эффекты могли повлиять на это время? Во-первых, сужение тени. Угловой размер Солнца на расстоянии Юпитера примерно в пять раз меньше, чем на Земле, то есть примерно $6'$ . Под таким же углом сходится конус тени Юпитера. Значит, мы завысили $\alpha$ на $6'$ или 0.5%, что незначительно.

Ио — довольно крупный спутник, но свой диаметр в орбитальном движении он проходит за 3 минуты, что также мало по сравнению с полученным временем.

Дальше можем действовать методом подбора. Ио вновь окажется в тени Юпитера спустя 42.3, 84.6, 126.9, … часов после попадания в тень, указанного в условии. Моменты противостояния будут наступать через 16.75, 33.5, 50.25, 67, 83.75, 100.5, … часов. Заметим, что первое прохождение тени происходит примерно посередине между двумя противостояниями. Зато пятое противостояние произойдёт за 0.86 часа до завершения второго оборота Ио, что составляет 40% от времени $t$ . Значит, повторно неудачные для наблюдения условия могут повториться через 83.75 часа или примерно через 3.5 суток.

Замечание. Может показаться, что наблюдениям Ио может мешать Солнце. Следует учесть, что Ио — очень яркий спутник, а у Амальтеи нет атмосферы. Таким образом, нет яркого свечения неба, которое могло бы затмить свет спутника. Серп Ио будет оставаться достаточно ярким вплоть до тесного сближения с Солнцем; кроме того, ярко освещённый Юпитер в эти моменты будет подсвечивать Ио, вызывая пепельное свечение, подобное пепельному свечению Луны.

Критерии проверки

Определение синодического периода $S_{\text{АИ}}$ 2 балла
Причина невозможности наблюдения Ио — заход в тень Юпитера 2 балла

Если причиной является невидимость на фоне яркого Солнца, то выставляется 1 балл
Вычисление времени нахождения Ио в тени Юпитера 2 балла

При решении в два шага (угол $\to$ время) — по 1 баллу за каждый шаг.
Правильный конечный ответ 2 балла

Если рассматривается прохождение Ио вблизи Солнца, то последний пункт не засчитывается полностью, а п. 3 оценивается в зависимости от принятых ограничений на расстояние до Солнца.

Максимальная оценка за задачу 8 баллов.

(М. В. Силантьев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца $L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}\ \text{Вт}$

Видимая звёздная величина Солнца $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$

Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$

Эффективная температура Солнца $T_{\odot} = 5800\ \mathrm{K}$

Солнечная постоянная $E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}$

Тропический год $= 365.24219\ \text{сут}$

Звёздные сутки $T_{☾} = 23\ \text{ч}\ 56\ \text{мин}\ 04\ \text{с}$

Наклон экватора к эклиптике $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$

Средняя плотность Земли $\rho_{\oplus} = 5515\ \text{кг/м}^3$

Синодический месяц $S_{☾} = 29.530\,59\ \text{сут}$

Видимая звёздная величина полной Луны $m_{☾} = -12.7^{\mathrm{m}}$

Число звёзд в нашей Галактике $= 1 \cdot 10^{11}$

Радиус диска нашей Галактики $= 20\ \text{кпк}$

Масса нашей Галактики (в массах Солнца) $= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная $G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \text{м}^3\,\text{кг}^{-1}\,\text{с}^{-2}$

Скорость света в вакууме $c = 2.998 \cdot 10^{8}\ \text{м}\,\text{с}^{-1}$

Масса протона $m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}\ \text{кг}$

Масса электрона $m_{\mathrm{e}} = 9.11 \cdot 10^{-31}\ \text{кг}$

Астрономическая единица $1\ \text{а. е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \text{м}$

Парсек $1\ \text{пк} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \text{м}$

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Радиус орбиты, а.е.	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце			$1.989\times10^{30}$	696	25.38 сут.
Меркурий	0.3871	87.97 сут.	$3.302\times10^{23}$	2.44	58.65 сут.
Венера	0.7233	224.70 сут.	$4.869\times10^{24}$	6.05	243.02 сут.
Земля	1	365.26 сут.	$5.974\times10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	27.32 сут.	$7.348\times10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	686.98 сут.	$6.419\times10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	11.862 лет	$1.899\times10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	29.458 лет	$5.685\times10^{26}$	60.3	10.66 ч
Титан	0.008 17	15.945 сут	$1.345\times10^{23}$	2.57	15.945 сут.
Уран	19.1914	84.01 лет	$8.683\times10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	164.79 лет	$1.024\times10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: 8_prob.pdf · официални решения: 8_sol.pdf