НОА 1998, Сборник задачи 1998–1999 — Задача 17. Втори кръг, X÷XII клас — задача 2

• 2.7

  Отношение на лунната към слънчевата приливна сила.

Явлението приливи и отливи възниква вследствие на това, че даденото небесно тяло (Луната, Слънцето) придава различни ускорения на различни части от земното кълбо. Съгласно закона на Нютон за всеобщото привличане, ускорението, което придава тяло с маса M на друго тяло, намиращо се от първото на разстояние r, е $g = \gamma M/r^2$, където γ е гравитационната константа. Следователно приливното действие на небесните тела се определя от разликата на получените ускорения от различни части на земното кълбо. (2 т.)

В точки 1 и 2, показани на фиг. 1 нека разгледаме две малки части от Земята с маса Δm. Силите на привличане, с които им действа Луната, са:

$F_1 = \gamma\dfrac{M_{\Lambda}\cdot\Delta m}{(a-R_{\oplus})^2}$ ; $F_2 = \gamma\dfrac{M_{\Lambda}\cdot\Delta m}{(a+R_{\oplus})^2}$ ,

където $M_{\text{Л}}$ е масата на Луната, a- разстоянието от Земята до Луната, и $R_{\oplus}$ е радиусът на Земята.

Разликата между тези сили, както вече казахме, служи за мярка на приливната сила:

$\Delta F_{\Lambda} = \gamma\dfrac{M_{\Lambda}\cdot\Delta m}{(a-R_{\oplus})^2(a+R_{\oplus})^2}4aR_{\oplus}$ (1 т.)

Тъй-като $R_{\oplus} \ll a$, то

$\Delta F_{\Lambda} \approx \gamma M_{\Lambda}\cdot\Delta m R_{\oplus}\cdot\dfrac{4a}{a^4} = 4\gamma M_{\Lambda}\cdot\Delta m R_{\oplus}\cdot\dfrac{1}{a^3}$ (1 т.)

С аналогични разсъждения за приливната сила, която се получава от въздействието на Слънцето, намираме:

$\Delta F_C \approx \gamma M_C\cdot\Delta m R_{\oplus}\cdot\dfrac{4A}{A^4} = 4\gamma M_C\cdot\Delta m R_{\oplus}\cdot\dfrac{1}{A^3}$ ,

където A е разстоянието между Слънцето и Земята, а $M_C$ е масата на Слънцето. Като сравним двете сили $\Delta F_{\Lambda}$ и $\Delta F_C$ получаваме:

$\dfrac{\Delta F_{\Lambda}}{\Delta F_C} = \dfrac{M_{\Lambda}\cdot A^3}{M_C\cdot a^3}$ (2 т.)

Като заместим в горната формула известните данни, окончателно получаваме:

$\dfrac{\Delta F_{\Lambda}}{\Delta F_C} \approx 2{,}7$ (1 т.)

т.е. лунната приливна сила е 2,7 пъти по-голяма от слънчевата. Затова приливите и отливите се предизвикват главно от Луната, а не от Слънцето.