НОА 1998, Сборник задачи 1998–1999 — Задача 23. Републикански кръг на I НОА (Варна, 2 април 1998 г.), VII÷IX клас — задача 3

• А) $4 \times 10^{7}$
• В) 2530 km/s

А) Преди избухването звездата е създавала на Земята осветеност $E_0$ (съответстваща на началната звездна величина $m_0=21$), а в момента, когато видимата и звездна величина е станала $m_1=2$ — осветеност $E_1$. По формулата на Погсон:

$\dfrac{E_1}{E_0} = (2{,}512)^{m_0-m_1}$

$E_1/E_0 = L_1/L_0$ ,

където $L_0$ е светимостта на звездата преди избухването, а $L_1$ - светимостта при достигане на видима звездна величина $m_1$.

$L_1/L_0 = (2.512)^{m_0 - m_1} = 4\times10^7$ пъти ( 2 т. )

Б) Предполагаме, че светимостта на звездата остава постоянна, а блясъкът ѝ се увеличава поради това, че звездата се движи към нас със скорост v. В момента, когато звездната и величина е била $m_0$, тя се е намирала на разстояние $r_0 = 1550$ pc, а когато се е приближила на разстояние $r_1$ звездната и величина е станала $m_1$. В първия момент звездата е създавала на Земята осветеност $E_0$, а във втория - $E_1$. Според закона на Ламберт:

$\dfrac{E_1}{E_0} = \left(\dfrac{r_0}{r_1}\right)^2$ ( 2 т. )

Използвайки формулата на Погсон, получаваме:

$\dfrac{r_0^2}{r_1^2} = (2{,}512)^{m_0-m_1}$ или $r_1 = r_0(2{,}512)^{-\frac{m_0-m_1}{2}}$ ( 1 т. )

Изминатото от звездата разстояние за време $t=2^d\,17^h$ ще бъде

$\Delta r = r_0 - r_1 = r_0\left(1-(2{,}512)^{-\frac{m_0-m_1}{2}}\right)$

а скоростта на движение е;

$v = \dfrac{\Delta r}{t} = \dfrac{r_0}{t}\left(1-(2{,}512)^{-\frac{m_0-m_1}{2}}\right) = 3{,}2\cdot10^7\ m/s$ ( 2 т. )

Получената скорост е около 100 пъти по-голяма от скоростта на светлината $c = 300\ 000\ km/s$ и следователно повишаването на блясъка на звездата не може да се обясни с приближаването и към нас, тъй като не може да се движи със скорост по-голяма от скоростта на светлината. ( 2 т. )

В) Съгласно ефекта на Доплер $\Delta\lambda/\lambda = w/c$, където w е скоростта, с която звездата изхвърля обвивката си при взрива. Тогава

$w = c\,\Delta\lambda/\lambda \approx 2530\ km/s.$ ( 3 т. )