НОА 1998, Сборник задачи 1998–1999 — Задача 53. I кръг на II НОА (1998/1999 г.), ученици от 16 до 18-годишна възраст — задача 6

• -0.04 m

(10 точки) Нека първоначално звездата да има светимост L и абсолютна звездна величина М. Съгласно закона на Стефан-Болцман за излъчването на абсолютно черно тяло:

$L = 4\pi R^2\sigma T^4,$ (1 т.)

където R е радиусът на звездата, σ е константата на Стефан-Болцман, а Т е температурата на звездата. Относителното намаление на радиуса на зведата е δR = 2%. Абсолютното намаление на радиуса на зведата е ΔR = R δR/100%. Аналогично, ако δТ е относителното увеличение на температурата на звездата, то абсолютното увеличение ще бъде ΔТ = Т δТ/100% (2 т.). След тези изменения светимостта на звездата ще стане:

$L_1 = 4\pi(R - \Delta R)^2\sigma(T + \Delta T)^4 = 4\pi R^2(1 - \delta R/100)^2\sigma T^4(1 + \delta T/100)^4$

$L_1 = L(1 - \delta R/100)^2(1 + \delta T/100)^4.$ (1 т.)

Абсолютната звездна величина на звездата ще се измени с ΔM и ще стане:

$M_1 = M + \Delta M.$

Използвайки формулата на Погсон, намираме:

$\lg(L/L_1) = 0.4(M_1 - M) = 0.4\Delta M$ (2 т.)

$\Delta M = 2.5\lg(L/L_1) = 2.5\lg[(1 - \delta R/100)^{-2}(1 + \delta T/100)^{-4}]$

$\Delta M = -5\lg(1 - \delta R/100) - 10\lg(1 + \delta T/100)$ (2 т.)

$\Delta M \approx -\,0.04^m$ (1 т.)

Абсолютната звездна величина на звездата ще намалее, а светимостта ѝ ще се увеличи. (1 т.)