НОА 1998, Сборник задачи 1998–1999 — Задача 61. II кръг на II НОА (06.03.1999 г.), X - XII клас — задача 2

• -0.43 m

2 задача. (10 т.) $L_A = 1.6\,L_{\odot}$ е светимостта на компонентата А, изразена в единици слънчева светимост $L_{\odot}$ , а $L_B = 0.45\,L_{\odot}$ е светимостта на компонентата В. Ако $E_A$, $E_B$ и $E_{\odot}$ са осветеностите, създавани на стандартното разстояние от 10 рс, съответно от компонентите А и В и от Слънцето, то

$E = E_A + E_B$

е осветеността, създавана на същото разстояние от системата α Cen. Тогава:

$E/E_{\odot} = (E_A + E_B)/E_{\odot} = (L_A + L_B)/L_{\odot}, \qquad (1)$

тъй като $E_A$, $E_B$ и $E_{\odot}$ са величини пропорционални съответно на $L_A$, $L_B$ и $L_{\odot}$ (2 т.). Ако $M_{\odot}$ е абсолютната звездна величина на Слънцето, а М – на системата α Cen, то съгласно формулата на Погсон:

$\lg(E/E_{\odot}) = 0.4\,(M_{\odot} - M)$

Имайки пред вид (1), оттук получаваме:

$M = M_{\odot} - 2.5\lg[(L_A + L_B)/L_{\odot}]$ (2 т.)

$M = 4^m.72 - 2.5\lg(1.6 + 0.45) \approx 3^m.94 \qquad (2)$

Ако паралаксът на α Cen е $\pi''$, то разстоянието до нея, изразено в рс, е:

$r[pc] = 1/\pi'' \qquad (3)$

На разстояние r системата α Cen има видима звездна величина m и създава осветеност $E_r$. Според закона на Ламберт $E_r \sim 1/r^2$, а също $E \sim 1/(10\ pc)^2$, следователно:

$E_r/E = (10\ pc)^2/r^2.$

Използвайки отново формулата на Погсон, получаваме:

$\lg(E_r/E) = 0.4\,(M - m)$

$\lg[(10\ pc)^2/r^2] = 0.4\,(M - m)$

Оттук и от (3) и (2) намираме последователно:

$m = M - 5 + 5\lg r = M - 5 - 5\lg\pi''$ (5 т.)

$m \approx -\,0^m.43$ (1 т.)