Съдържание

НОА 1998, Сборник задачи 1998–1999 — Задача 8. Първи кръг, X÷XII клас — задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 1998

ЗАДАЧИ за първи кръг на олимпиадата по астрономия · 6 т.

Внимание: Бележка към темата

Сборник с шест отделни комплекта задачи с решения (1997/1998 и 1998/1999 г.): първи и втори кръг, републикански кръг на I НОА (Варна, 2 април 1998 г.), I кръг на задочната школа, I и II кръг на II НОА. Задачите са номерирани последователно 1–64; комплектът и групата са посочени в заглавието на всяка задача.

Задочна школа по астрономия, I кръг

Право на индивидуално участие в задочната школа имат всички ученици в посочените класове (курсове). Всеки участник трябва да изпрати решенията на задачите от настоящия първи кръг на адрес:

Народна астрономическа обсерватория и планетариум “Николай Коперник”

п.к. 120, гр. Варна 9000

Крайният срок на изпращането е 15 януари 1998 г. (дата на пощенското клеймо от мястото на изпращане). Решенията на задачите да са написани четливо и поставени общо в един плик заедно с празен плик, на който е залепена марка и написан адресът на автора на решенията.

Пожелаваме ви успех!

Условие

Определете диаметъра на звездата Мира от Кит (ο-Cet) в километри, ако видимият и ъглов диаметър е $\beta=0{,}065''$ , а паралаксът- $\pi=0{,}024''$ . (6 точки)

Упътване: За малки ъгли α (в радиани) са в сила приближенията: $\sin\alpha \approx \alpha$ , $\cos\alpha \approx 1$ .

Отговори

Решение

I начин: Разстоянието d до звездата Мира от Кит можем да определим с помощта на правоъгълния триъгълник, показан на фиг. 1:

$d = r_0/\sin\pi\,.$ (1 т.)

Правоъгълен триъгълник Мира – Слънце – Земя: хипотенуза d от Мира до Земята, катет r₀ = 1 a.e. между Слънцето и Земята, ъгъл π при Мира. — Фиг. 1.

Нека сега разгледаме равнобедрения триъгълник ABO’ на фиг. 2 (с бедра AO’=BO’). Тук D=|AB| е диаметърът на звездата. Ние вече определихме височината на този триъгълник ОО’, която се явява разстоянието d от нас до звездата.

Равнобедрен триъгълник ABO’: окръжност (Мира) с център O и диаметър AB, лъчи от A и B към точката O’ (Земя), ъгъл β при O’. — Фиг. 2.

Остава да определим D: От геометрични съображения веднага можем да напишем:

$D = 2\,d\,\mathrm{tg}(\beta/2) = 2\,r_0\,\mathrm{tg}(\beta/2)/\sin\pi\,.$ (2 т.)

Понеже ъглите β и π са много малки, са в сила приближенията: $\sin\pi \approx \pi$ и $\mathrm{tg}(\beta/2) \approx \beta/2$ . Следователно:

$D = r_0\,\beta/\pi$ (2 т.)

За да заместим с числените стойности, първо трябва превърнем използваните ъгли в радиани: $\beta=3{,}151.10^{-7}\ \mathrm{rad}$ ; $\pi=1{,}163.10^{-7}\ \mathrm{rad}$ . След заместване с числените стойности за диаметъра на звездата o-Cet окончателно получаваме:

$D \approx 405$ млн. km. (1 т.)

II начин: По същество отношението между видимия ъглов диаметър на една звезда и нейния паралакс показва колко пъти истинският и диаметър е по-голям от радиуса на земната орбита. Тогава веднага можем да напишем:

$D = r_0\,\beta/\pi\,,$ (5 т.)

или след заместване с числовите стойности:

$D \approx 405$ млн. km. (1 т.)

ЗАБЕЛЕЖКА

Максималният брой точки е 20. Необходимият брой точки, за допускане до участие в следващия кръг е:

А) За ученици от VII÷IX клас - 13 точки;

Б) За ученици от X÷XII клас - 13 точки.

Справочни данни (II кръг на II НОА, VII - IX клас)

Справочни данни: екваториален радиус на Земята R = 6378 km.

Справочни данни (II кръг на II НОА, X - XII клас)

Справочни данни: екваториален радиус на Земята R = 6378 km, звездно денонощие $T_{\oplus} = 23^d56^m04^s$ , сидеричен лунен месец $T_L = 27^d.3216$ .

Оригинал в Архива: 1998-1999-booklet.pdf