Съдържание

НОА 1998, III кръг (национален), 7–12 клас — VII–IX.3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 1998

Задачи за републиканския кръг на I Национална олимпиадата по астрономия 2 април 1998г., гр. Варна · 2 април 1998 г. · 12 т.

Условие

Ученици VII–IX клас · 3 задача

Блясъкът на новата звезда, избухнала в съзвездието Лебед на 29 август 1975г., се е увеличил от $21^{m}$ до $2^{m}$ за $2^{d}\ 17^{h}$ .

А) Пресметнете колко пъти се е увеличила светимостта на звездата при избухването.

Б) Разстоянието до звездата, определено преди избухването, е 1 550 pc. Като знаете, че не е възможно движение със скорост по-голяма от скоростта на светлината, докажете, че повишаването на блясъка на звездата не може да се обясни с бързото ѝ приближаване към нас.

В) В спектъра на новата звезда водородната линия с дължина на вълната $\lambda = 4861$ Å се е отместила към синия край с $\Delta\lambda = 41$ Å. Определете с каква скорост звездата е изхвърлила своята обвивка. (Скоростта на светлината е $c = 300\,000\ \mathrm{km/s}$ ).

Решение

А) Преди избухването звездата е създавала на Земята осветеност $E_0$ (съответстваща на началната звездна величина $m_0=21$ ), а в момента, когато видимата ѝ звездна величина е станала $m_1=2$ – осветеност $E_1$ . По формулата на Погсон:

\frac{E_1}{E_0}=(2{,}512)^{m_0-m_1}

E_1/E_0=L_1/L_0,

където $L_0$ е светимостта на звездата преди избухването, а $L_1$ – светимостта при достигане на видима звездна величина $m_1$ .

L_1/L_0=(2{,}512)^{m_0-m_1}=4\times10^7\ \text{пъти}\qquad(2\ \text{т.})

Б) Предполагаме, че светимостта на звездата остава постоянна, а блясъкът ѝ се увеличава поради това, че звездата се движи към нас със скорост $v$ . В момента, когато звездната ѝ величина е била $m_0$ , тя се е намирала на разстояние $r_0=1550$ pc, а когато се е приближила на разстояние $r_1$ звездната величина е станала $m_1$ . В първия момент звездата е създавала на Земята осветеност $E_0$ , а във втория – $E_1$ . Според закона на Ламберт:

\frac{E_1}{E_0}=\left(\frac{r_0}{r_1}\right)^2\qquad(2\ \text{т.})

Използвайки формулата на Погсон, получаваме:

\frac{r_0^2}{r_1^2}=(2{,}512)^{m_0-m_1},\quad\text{или}\quad r_1=r_0(2{,}512)^{-\frac{m_0-m_1}{2}}.\qquad(1\ \text{т.})

Изминатото от звездата разстояние за време $t=2^{\mathrm d}17^{\mathrm h}$ ще бъде

\Delta r=r_0-r_1=r_0\left(1-(2{,}512)^{-\frac{m_0-m_1}{2}}\right),

а скоростта на движение е:

v=\frac{\Delta r}{t}=\frac{r_0}{t}\left(1-(2{,}512)^{-\frac{m_0-m_1}{2}}\right)=3{,}2\cdot10^7\ \mathrm{m/s}.\qquad(2\ \text{т.})

Получената скорост е около 100 пъти по-голяма от скоростта на светлината $c=300000$ km/s и следователно повишаването на блясъка на звездата не може да се обясни с приближаването ѝ към нас, тъй като не може да се движи със скорост по-голяма от скоростта на светлината. (2 т.)

В) Съгласно ефекта на Доплер $\Delta\lambda/\lambda=w/c$ , където $w$ е скоростта, с която звездата изхвърля обвивката си при взрива. Тогава

w=c\,\Delta\lambda/\lambda\approx2530\ \mathrm{km/s}.\qquad(3\ \text{т.})

Оригинал в Архива: NOA3_1998_problems.pdf · официални решения: NOA3_1998_7-9solutions.pdf · допълнителни данни: NOA3_1998_10-12solutions.pdf · допълнителни данни: 1998-1999-booklet.pdf