НОА 1998, IV кръг, 7–12 клас — X–XII.1

• $T=9^{h}21^{m}36^{s}$

Часовникът показва време:

$T=12h-\lambda+\beta-\Delta T$ (1)

където $\Delta T$ е времето, необходимо на центъра на Слънцето да измине разстояние, равно на видимия си ъглов радиус, или времето от кулминацията на западния край на слънчевия диск до кулминацията на центъра на диска.

$\Delta T=\rho_c/\omega_c$ (2)

където $\rho_c$ е видимият ъглов диаметър на Слънцето, а $\omega_c$ е ъгловата скорост на видимото му движение. Тъй като наблюдението се извършва на 4 януари, т. е. около момента на преминаването на Земята през перихелия, то:

$\rho_c=R_{\text{з}}/(a-\Delta a/2)=2R_{\text{з}}/(2a-\Delta a)$ (3)

Ъгловата скорост на видимото движение на Слънцето е: $\omega_{\text{з}}=2\pi/T_{\text{з}}-\omega'$

където $T_{\text{з}}$ е звездното денонощие, а $\omega'$ е ъгловата скорост на преместване на Слънцето по еклиптиката. За да се намери $\omega'$, трябва да се пресметне скоростта $v_n$ на движение на Земята в перихелия, а $v_a$ - в афелия. Нека $a_n=a-\Delta a/2$ е перихелийното разстояние на Земята, а $a_a=a+\Delta a/2$ - афелийното. Според закона за запазване на момента на импулса:

$v_na_n=v_aa_a$ (4)

Според закона за запазване на енергията $v_n^2/2-\gamma M/a_n=v_a^2/2-\gamma M/a_a$ (5)

Решавайки системата от уравнения (4) и (5), получаваме:

$v_n=[(\gamma M/a).(2a+\Delta a)/(2a-\Delta a)]^{1/2}$

където $g$ е гравитационната константа, а $M$ - е масата на Слънцето.

Оттук намираме:

$\omega'=v_n/a_n=2[(\gamma M/a).(2a+\Delta a)/(2a-\Delta d)^3]^{1/2}$

От (3), (2) и (1) получаваме:

$T=12^{h}-\lambda+\beta-2R/(2a-\Delta a)/\{2\pi/T-2[(\gamma M/a).(2a+\Delta a)/(2a-\Delta a)^3]^{1/2}\}$

$T=9^{h}21^{m}36^{s}$.