НОА 1998, IV кръг, 7–12 клас — X–XII.2

• Възможно е само в първия случай, при $R=(0.2$ до $1)\times 10^{6}\ km$.

За да може кометата да се вижда цяла нощ близо до меридиана на наблюдателя, тя трябва да се движи спрямо звездите с ъгловата скорост на въртене на Земята, или

$v_{\text{к}}/R=2\pi/24^{h}$ (1)

където $v_{\text{к}}$ е скоростта на кометата спрямо Земята, $R$ е разстоянието до Земята.

Първи случай:

Кометата се намира сравнително близо до Земята ($R\ll 1AU$).

По принцип, кометите се движат по почти параболични орбити. Скоростите на кръговото и параболичното движение в дадена точка се отнасят помежду си както първа и втора космически скорости: $v_{\text{к}}=(2v_1)^{1/2}$. Следователно:

$(2)^{1/2}-1\le v_{\text{к}}/v_{\text{з}}\le 2+1$ (2)

където $v_{\text{з}}=30km/s$ е орбиталната скорост на Земята. Съществува неопределеност на стойността на $v_n$, която е свързана с това, че скоростите на кометата и на Земята могат да се намират под различни ъгли, понеже орбитите на кометите имат произволен наклон към еклиптиката. От уравнения (1) и (2) получаваме, че $R=(0.2$ до $1)x10^{6}\ km$.

Втори случай:

Кометата е далеч от Земята ($R\geqq 1AU$).

Ако наблюденията се провеждат през нощта, то разстоянието от кометата до Слънцето е ~ $(1+R)\ AU$, а нейната скорост относно Слънцето е:

$v_{\text{к}}=v_{\text{з}}[2/(1+R)]^{1/2}$

Тогава (2) придобива следния вид:

$[2/(1+R)]^{1/2}-1\le v_{\text{к}}/v_{\text{з}}\le [2/(1+R)]^{1/2}+1$ (3)

Лесно може да се покаже, че уравнение (1) и неравенство (3) при $R\geqq 1AU$ не могат да бъдат изпълнени едновременно. Следователно остава само едно решение.