Съдържание

НОА 2000, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2000

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА — Централна комисия за провеждане на олимпиадата по АСТРОНОМИЯ — II кръг на III национална олимпиада по астрономия, март 2000 г. — УЧЕНИЦИ X - XII КЛАС · 11 т.

Условие

Големият кратер Хипарх се намира близо до центъра на видимия лунен диск. Наблюдаваме сянката, която пръстеновидният вал на кратера хвърля върху неговото дъно при възраст на Луната 8 дни след новолуние. Дъното на кратера считаме за хоризонтално. Видимата ъглова ширина на сянката е 10 дъгови секунди. Изчислете височината на вала в километри. Приемете, че Луната се намира на средно разстояние от Земята.

Отговори

Решение

Задача 2 (11 точки): Нека $l$ е ширината на сянката в km, $\alpha$ – ъгълът, под който Слънцето осветява кратера, $r$ – разстоянието от наблюдателя до кратера, $\beta = 10''$ – ъгълът, под който от Земята виждаме ширината на сянката на кратера, $h$ – търсената височина на пръстеновидния вал на кратера. От елементарни геометрични съображения можем да запишем:

h = l\ \mathrm{tg}\ \alpha

l = r\ \mathrm{tg}\ \beta

Следователно:

h = r\ \mathrm{tg}\ \beta\ \mathrm{tg}\ \alpha \qquad (1) \qquad \textbf{(3 т.)}

За да определим $r$ , трябва от средното разстояние Земя–Луна, равно на 384000 km, което е разстоянието между центровете на планетите, да извадим радиуса на Луната, както и разстоянието, с което наблюдателят е по-близо до Луната, отколкото е центърът на Земята. Тъй като не е дадена височината на Луната над хоризонта, добро приближение за разстоянието от наблюдателя до кратера е:

r = 380000\ \mathrm{km}. \qquad \textbf{(1 т.)}

Остава да намерим ъгъла $\alpha$ . Това собствено е височината на Слънцето над хоризонта на Луната. Тъй като кратерът е близо до центъра на лунния диск, за него Слънцето ще изгрее, когато Луната е във фаза първа четвърт. Ъгъла, на който Слънцето се измества за едно денонощие за наблюдател на повърх-ността на Луната, получаваме като разделим 360° на синодичния месе В първа четвърт възрастта на Луната е приблизително:

T_{син}/4 \approx 7^{d}.38\text{ц}\ \ T_{син}.

Геометрична схема на задачата: сечение на Луната със сянка и кратер, ъгъл α при повърхността, ъгъл β при наблюдателя, разстояние r до Наблюдателя и Слънце вдясно.

До възраст на Луната $8^{d}$ остават $0^{d}.62$ . Следователно ъгълът, на който Слънцето ще се издигне над хоризонта за това време, ще бъде:

\alpha = 0^{d}.62 \times 360^{\circ}/T_{син}

Заместваме в (1) и получаваме:

h = r\ \mathrm{tg}\ \beta\ \mathrm{tg}\ (360^{\circ} \times 0^{d}.62/T_{син}) \approx 2.4\ \mathrm{km} \qquad \textbf{(7 т.)}

Оригинал в Архива: NOA2_2000_10-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2000_10-12solutions.pdf