НОА 2000, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 5

• По-лесно е да се изстреля сонда към Слънцето от Марс ($v_M \approx 23.9$ km/s) отколкото от Луната ($v_Л \approx 28.7$ km/s).

Задача 5 (20 точки):

Първо разглеждаме условията за изстрелване на сондата от Марс. Нека скоростта, необходима за изстрелване на сондата от повърхността на планетата, за да може тя да достигне до Слънцето, е $v_M$ . Минимална стойност на $v_M$ се получава, когато сондата се изстреля със скорост равна по големина и противоположна по посока на скоростта на движение на съответната точка от повърхността на Марс относно Слънцето. Така относителната скорост на сондата спрямо Слънцето ще стане нула и тя ще пада свободно към него. Ясно е, че сондата трябва да се изстреля по посока обратна на посоката на орбиталното движение на Марс около Слънцето. (2 т.). Скоростта на това орбитално движение е значителна. Известно намаление на необходимата стартова скорост на сондата относно повърхността на Марс може да се получи, ако се използва околоосното въртене на планетата. Най-добър ефект в този смисъл се постига при изстрелване на сондата от точка на марсианския екватор, защото там линейната скорост на околоосно въртене е най-голяма. Изстрелването трябва да стане в момента на местното пладне, понеже тогава скоростта на околоосно въртене е насочена противоположно на скоростта на орбитално движение на планетата. (2 т.). Линейната скорост на вътене на екваториална точка около оста на Марс е:

Тогава минималната необходима стартова скорост на сондата е:

Втора космическа скорост за повърхността на Марс е:

Тъй като $v_M > v_{2M}$ , то получената от нас стойност на $v_M$ е достатъчна на сондата да напусне завинаги Марс и няма опасност неговото гравитационно привличане да я върне обратно преди да е стигнала до Слънцето. (2 т.)

Случаят с Луната е малко по-сложен. Аналогични съображения, както при Марс, ни водят до заключението, че сондата трябва да се изстреля в посока обратна на орбиталното движение на Земята около Слънцето, което става със скорост $v_{оЗ}$. Минимална стартова скорост имаме, когато това стане от точка на лунния екватор при новолуние в момент на местното пладне, т.е. от центъра на обратната страна на Луната. Така за намаляване на необходимата стартова скорост $v_Л$ на сондата относно лунната повърхност ние се възползваме не само от околоосното въртене на Луната, но и от орбиталното й движение около Земята. (2 т.)

Линейната скорост на вътене на точка от лунния екватор е:

Минималната необходима скорост на изстрелване ще бъде:

Втора космическа скорост ва повърхността на Луната е:

Тъй като $v_Л > v_{2Л}$ , то стойността на $v_Л$ е достатъчна, за да се откъсне сондата завинаги от лунното притегляне. Тя трябва, обаче, да преодолее и притеглянето на Земята. Параболичната скорост на разстояние от Земята, равно на радиуса на лунната орбита, е:

Виждаме, че условието $v_Л > v_{парЗ}$ също е изпълнено. (2 т.)

Минималната необходима стартова скорост на сондата от Марс $v_M = 23.9$ km/sec е по-малка от тази за Луната $v_Л = 28.7$ km/sec. Следователно по-лесно е да се изстреля сонда към Слънцето от Марс, отколкото от Луната. При разсъжденията, направени дотук, не беше отчетена атмосферата на Марс. Нейното съпротивление ще увеличи минималната необходима скорост за изстрелване на сондата от повърхността на планетата, но понеже марсианската атмосфера е много разредена, това увеличение няма да е толкова голямо, че да промени нашето крайно заключение. (2 т.)