Съдържание

НОА 2000, II кръг (областен), 7–9 клас — Задача 5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2000

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · Централна комисия за провеждане на олимпиадата по АСТРОНОМИЯ · II кръг на III национална олимпиада по астрономия, март 2000 г. · УЧЕНИЦИ VII - IX КЛАС · 18 т.

Внимание: Бележка към темата

Заглавието на документа с решения казва „февруари, 2000 г.“, а на задачника — „март 2000 г.“; печатното на задачника (март) е прието за година/кръг.

Условие

Колко пъти по-слаб ще бъде блясъкът на Слънцето, гледано от Плутон, в сравнение с видимия му блясък за наблюдател на Земята? Бихме ли могли да различим с просто око слънчевия диск от повърхността на Плутон? Колко време ще продължат частичната и пълната фаза на централно слънчево затъмнение, причинено от спътника на Плутон Харон? Плутон и Харон са обърнати винаги с една и съща страна един към друг. Ефектът от орбиталното движение на Плутон около Слънцето да се пренебрегне.

Справочни данни:
Разстояние Плутон – Слънце $r_{Пл} = 40\ \mathrm{AU}$
Диаметър на Слънцето $D_{\odot} = 1{,}4 \times 10^{6}\ \mathrm{km}$
Диаметър на Харон $D_Х = 1200\ \mathrm{km}$
Радиус на Плутон $R_{Пл} = 1100\ \mathrm{km}$
Радиус на орбитата на Харон $r_Х = 19000\ \mathrm{km}$
Период на обикаляне на Харон около Плутон $T_Х = 6^{\mathrm{d}}{,}39$
Средно разстояние от Земята до Слънцето $1\ \mathrm{AU} = 149{,}6 \times 10^{6}\ \mathrm{km}$

Отговори

Решение

Блясъкът на едно светило се определя от осветеността, която то създава върху окото на наблюдателя. Осветеността намалява с квадрата на разстоянието. Следователно:

E_{Пл}\, /\, E_З = r_З^{2}\, /\, r_{Пл}^{2} = 1/1600

$E_{Пл}$ – осветеността, която Слънцето създава на Плутон
$E_З$ – осветеността, която Слънцето създава на Земята
$r_З$ – разстоянието Слънце - Земя – 1 AU
$r_{Пл}$ – разстоянието Слънце - Плутон – 40 AU

Виждаме, че блясъкът на Слънцето, гледано от Плутон, е 1600 пъти по-слаб отколкото като го гледаме от Земята. (2 т.)

Ъгловите размери на Слънцето намираме чрез формулата, свързваща ъгловите и линейните размери с разстоянието до обекта: $d = \delta r$ . (1 т.)

В конкретния случай:

D_{\odot} = \left(\pi\, /\, (180^{\circ} \times 3600")\right)\, \delta''_{\odot}\, r_{Пл} \qquad (1)

$D_{\odot}$ – линейни размери на Слънцето – $1{,}4 \times 10^{6}\ \mathrm{km}$
$\delta''_{\odot}$ – ъглови размери на Слънцето в дъгови секунди

От (1) следва:

\delta''_{\odot} = (180^{\circ} \times 3600"\, /\, \pi)\,(D_{\odot}\, /\, r_{Пл})\ \approx\ 48"

(2 т.)

Разделителната способност на окото е около 1′ – 2′ (дъгови минути). Следователно от Плутон не бихме могли да различим диска на Слънцето с невъоръжено око. За нас то ще изглежда като много ярка звезда. (1 т.)

Частичната фаза на слънчево затъмнение, причинено от Харон, продължава толкова време $\Delta t_1$ , колкото е необходимо на диска на Харон, при движението му по орбитата, да закрие диска на Слънцето, въпреки малките му размери. Очевидно е, че:

\Delta t_1\, /\, T_Х = \delta''_{\odot}\, /\, (360^{\circ} \times 3600")

Следователно

\Delta t_1 = \delta''_{\odot}\, T_Х\, /\, (360^{\circ} \times 3600")\ \approx\ 20\ \mathrm{sec}

$T_Х = 6^{\mathrm{d}}{,}39 \approx 552100\ \mathrm{sec}$ – период на обикаляне на Харон по орбитата. (2 т.)

Продължителността на пълната фаза $\Delta t_2$ се пресмята аналогично:

\Delta t_2 = \delta_{Х}\, T_Х\, /\, 360^{\circ} \qquad (2)

$\delta_{Х}$ – ъглови размери на Харон в градуси (1 т.)

В тази формула би трябвало вместо ъгловите размери на Харон да фигурира разликата между ъгловите размери на Харон и Слънцето, но понеже ъгловите размери на Слънцето са много пъти по-малки от тези на Харон, това не е необходимо (1 т.).

Ъгловите размери на Харон определяме аналогично на ъгловите размери на Слънцето:

\delta_{Х} = (180^{\circ}\, /\, \pi)\,\left(D_Х\, /\, (r_Х - R_{Пл})\right)\ \approx\ 3^{\circ}50'

$D_Х$ – диаметър на Харон – 1200 km
$R_{Пл}$ – радиус на Плутон – 1100 km
$r_Х$ – радиус на орбитата на Харон – 19000 km (2 т.)

Разбира се, формулата е точна за онази част от повърхността на Плутон, за която Харон е сравнително близо до зенита (1 т.).

Заместваме в (2) и получаваме:

\Delta t_2 = D_Х\, T_Х\, /\, 2\,\pi\, (r_Х - R_{Пл})\ \approx\ 1^{\mathrm{h}}38^{\mathrm{m}}

(2 т.)

Когато Харон е близо до хоризонта, разстоянието, с което трябва да работим при определяне на ъгловите му размери, е приблизително равно на разстоянието между центровете на Плутон и Харон, т.е. на радиуса на орбитата на Харон. Тогава:

\delta_{Х} = (180^{\circ}\, /\, \pi)\,\left(D_Х\, /\, r_Х\right)\ \approx\ 3^{\circ}37'

(2 т.)

За продължителността на затъмнението получаваме:

\Delta t_2 = D_Х\, T_Х\, /\, 2\,\pi\, r_Х\ \approx\ 1^{\mathrm{h}}32^{\mathrm{m}}

(1 т.)

Оригинал в Архива: NOA2_2000_7-9problems.pdf · официални решения: NOA2_2000_7-9solutions.pdf