НОА 2000, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 1

• След 24 часа полярниците ще се намират на 133 m от южния полюс; техният път е окръжност с дължина 47.867 km (радиус 7.622 km), чийто център е встрани от полюса.

Движейки се със скорост 2 km/h, участниците в полярната експедиция няма да изминат голямо разстояние за 24 часа. Можем да пренебрегнем кривината на земното кълбо и да считаме, че те се движат по равнина (1 т.). Векторът на скоростта им непрекъснато е насочен към звездата Сириус. Звездата Сириус участва във видимото денонощно въртене на небесната сфера от запад на изток и за 24 часа се завърта по небето приблизително на $360^{\circ} + 1^{\circ}$. Допълнителният един градус се появява поради това, че звездата прави едно пълно завъртане по небето не за 24 часа (слънчево денонощие), а за около $23^h56^m$ (звездно денонощие). За оставащите 4 минути до 24 часа звездата се завърта на още $(4^m : 60) \times 15^{\circ} = 1^{\circ}$ (2 т.). Следователно векторът на скоростта на полярниците се върти равномерно от изток на запад, следвайки направлението към Сириус, като прави едно пълно завъртане за едно звездно денонощие. По големина скоростта на движение на полярниците остава постоянна. Това означава, че те се движат по окръжност с дължина $23^h56^m \times 2\ \mathrm{km/h} = 47.867\ \mathrm{km}$ и радиус $47.867\ /\ 2\pi = 7.622\ \mathrm{km}$ (4 т.). Центърът на окръжността е встрани от полюса. След като опишат един път тази окръжност и се върнат на южния полюс за $23^h56^m$, полярниците ще извървят още 1/360 част от нея, или 133 m до пълните 24 часа.
Понеже 133 m са много по-малко от радиуса на окръжността, можем да пренебрегнем кривината на тази дъга и да считаме, че полярните изследователи ще се окажат на 133 m от полюса (2 т.). Разбира се, за да бъде така, те трябва да се движат много точно по посока на Сириус, а това е трудно при вървене, особено в дълбок сняг. Необходимо е да се отбележи, че понеже са на южния полюс, полярниците ще се движат по посока, обратна на часовниковата стрелка.