НОА 2000, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 2

• При всяко долно съединение Венера е обърната към Земята с една и съща своя страна: $\beta_1 \approx \beta \approx 144^{\circ}.5$.

Венера и Земята обикалят около Слънцето в една и съща посока. Ако $T_З = 365^{\mathrm d}.26$ и $T_B = 224^{\mathrm d}.7$ са съответно периодите на орбитално движение на Земята и на Венера около Слънцето, то периодът, през който ще се повтарят долните съединения на Венера, ще бъде $T_{SYN}$, като:

За такъв интервал от време Венера прави $N = T_{SYN}\ /\ T_B = 583^{\mathrm d}.9\ /\ 224^{\mathrm d}.7 \approx 2.5985$ обиколки по орбитата си около Слънцето. Дробната част на N показва какъв ъгъл сключват правата линия, на която са били разположени Земята и Венера при първото съединение, и правата, на която са двете планети при най-близкото следващо съединение. Този ъгъл е:

Както знаем, Венера се върти около своята ос в посока, обратна на движението на планетите по техните орбити. Следователно, за да е обърната тя с една и съща своя страна към Земята при всяко съединение, то за време, равно на $T_{SYN}$, Венера трябва или да се е завъртяла около оста си на ъгъл:

или да е направила определен брой пълни завъртания около оста си по $360^{\circ}$ плюс непълно завъртане на ъгъл $\beta$. (3 т.) Щом периодът на околоосно въртене на Венера е $P_B = 243^{\mathrm d}.2$, то за време $T_{SYN}$ тя се е завърта около оста си:

Следователно тя е направила две пълни завъртания и още 0.401 завъртане (1 т.), което съответства на ъгъл:

Виждаме, че при точността на нашите изчисления $\beta_1 \approx \beta$ и можем да твърдим, че при второто съединение Венера действително ще е обърната към Земята със съшата своя страна, както при първото, а значи и при всяко следващо съединение също ще е така (1 т.).