Съдържание

НОА 2000, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2000

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · Централна комисия за провеждане на олимпиадата по АСТРОНОМИЯ · III кръг на III национална олимпиада по астрономия, април 2000 г. · УЧЕНИЦИ X - XII КЛАС · 13 т.

Условие

Голям извънземен космически кораб с маса $10^6$ kg навлиза в кръгова орбита около Луната със скорост 5 km/sec. Корабът се движи на височина 12 km над лунната повърхност без да променя скоростта си. Йонните ракетни двигатели работят непрекъснато, като изхвърлят 250 g гориво в секунда. В каква посока и с каква скорост изтича плазмената струя от двигателите? Ако на борда на кораба космонавтите имат привичното за тях тегло, то какво е ускорението на силата на тежестта на тяхната планета?

Отговори

Решение

Кръговата скорост на кораба на височина $h = 12\ \mathrm{km}$ над лунната повърхност е:

v_{1K} = (GM_Л\ /\ (R_Л + h))^{1/2} = 1.67\ \mathrm{km/sec} \qquad \textbf{(2 т.)}

Щом корабът не променя скоростта си при навлизане в тази кръгова орбита около Луната, то следователно той се движи по нея със скорост, по-голяма от $v_{1K}$ . Гравитационната сила на Луната не е достатъчна, за да го задържи на кръговата орбита. Ето защо към кораба трябва да се приложи допълнителна сила, която заедно с гравитационната ще му придаде необходимото центростремително ускорение. Тази сила се осигурява от двигателите на кораба (1 т.). Тъй като големината на скоростта по орбитата му не се променя, то силата на реактивните двигатели е приложена перпендикулярно към траекторията на кораба, т.е. струята от двигателите изтича в посока обратна на посоката от кораба към Луната, перпендикулярно на движението на кораба по орбитата му (1 т.). Ако $F_g$ е гравитационната сила, с която Луната привлича кораба, $F_m$ е реактивната сила на двигателите, m е масата на кораба, $v = 5\ \mathrm{km/sec}$ е скоростта, с която той навлиза в орбита около Луната, то:

mv^2\ /\ ((R_Л + h) = F_g + F_m \qquad \textbf{(2 т.)}

Знаем обаче, че $F_m = m_f u$ е реактивната сила на двигателя, където $m_f$ е масата на горивото, изтекло за 1 sec, а u е скоростта на изтичане на струята от двигателите на кораба (2 т.). Следователно:

u = (m\ /\ m_f)\ (v^2\ /\ (R_Л + h) - GM_Л\ /\ (R_Л + h)^2) \qquad \textbf{(1 т.)}

u = 22\ 170\ \mathrm{km/sec} \qquad \textbf{(1 т.)}

В координатна система, свързана с кораба, част от центробежното ускорение се компенсира от гравитационното ускорение на Луната. Остатъчното ускорение $g'$ създава изкуствена гравитация.

g' = v^2\ /\ (R_Л + h) - GM_Л\ /\ (R_Л + h)^2 \qquad \textbf{(2 т.)}

g' = 12.68\ \mathrm{m/s^2} \approx 1.3\ g \qquad \textbf{(1 т.)}

където $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ е земното ускорение.

Оригинал в Архива: NOA3_2000_10-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2000_10-12solutions.pdf