Съдържание

НОА 2000, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2000

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · Централна комисия за провеждане на олимпиадата по АСТРОНОМИЯ · III кръг на III национална олимпиада по астрономия, април 2000 г. · УЧЕНИЦИ X - XII КЛАС · 13 т.

Условие

Нека тясна двойна система се състои от обикновена звезда с малка маса и компактен обект — рентгенова звезда, невидима в оптическата област от спектъра. Често се случва пълната светимост $L_x$ на рентгеновата звезда да е много пъти по-голяма от светимостта $L_0$ на обикновената звезда. Тогава рентгеновото излъчване, попадащо върху обикновената звезда, нагрява част от повърхността ѝ, което води до променливост в блясъка на двойната система. Пресметнете амплитудата на изменение на блясъка на системата в звездни величини, ако $L_x\ /\ L_0 = 500$ , а разстоянието между звездите е 4 пъти по-голямо от радиуса на нормалната звезда. Лъчът на зрение лежи в орбиталната равнина на компонентите. Нагрятата част от нормалната звезда преизлъчва в космоса цялата лъчиста енергия, падаща върху нея от рентгеновата звезда. (Наред с едното възможно решение на задачата, съществува и приближено решение с достатъчна точност, при което формулата за площ на отрез от сфера може и да не се използва).

Справочни данни:
Гравитационна константа $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$
Маса на Луната $M_Л = 7.35 \times 10^{22}\ \mathrm{kg}$ ; Радиус на Луната $R_Л = 1738\ \mathrm{km}$
Период на обикаляне на Венера около Слънцето $T_B = 224^{\mathrm d}.7$
Период на обикаляне на Земята около Слънцето $T_З = 365^{\mathrm d}.26$
Период на околоосно въртене на Венера $P_B = 243^{\mathrm d}.2$
Площ на отрез от сфера с радиус R: $S = 2\pi R^2(1 - \cos\alpha)$

Сфера с радиус R; горе е отбелязан сферичният отрез S (точкувана шапка); два радиуса от центъра към ръба на отреза сключват всеки ъгъл α с вертикалната ос.

Отговори

Решение

Нека $a$ е разстоянието между двете звезди, а $R$ е радиусът на обикновената звезда A. От рентгеновата звезда B върху обикновената звезда попада лъчение $\Delta L_x$ , което представлява част от цялата светимост на рентгеновата звезда $L_x$ . Както се вижда от чертежа, този поток лъчение се ограничава от един кръгов конус с връх в центъра на рентгеновата звезда, който се допира до повърхността на обикновената звезда. Ъгълът при върха на конуса е $2\alpha$ . Очевидно:

\Delta L_x\ /\ L_x = S'\ /\ S \qquad \textbf{(4 т.)}

където $S$ е площта на сфера с център в рентгеновата звезда и радиус BP, а $S'$ е площта на отреза от тази сфера, определен от окръжността, в която гореспоменатият конус се допира до повърхността на нормалната звезда. Използвайки формулата за площ на отрез от сфера, получаваме:

\Delta L_x = L_x\ (2\pi a^2\ (1 - \cos\ \alpha))\ /\ 4\pi a^2

\Delta L_x = L_x\ (1 - (1 - R^2\ /\ a^2)^{1/2})\ /\ 2 \qquad \textbf{(3 т.)}

Облъчваният участък от повърхността на нормалната звезда ще се нагрее и ще стане по-ярък. В резултат на това, при подходящо разположение на оста на въртене на нормалната звезда спрямо нас, ще наблюдаваме периодично изменение на блясъка на тази звезда. Тогава щом лъчът на зрение лежи в орбиталната равнина на двойната система, блясъкът на звездата в минимум ще бъде пропорционален на $L_0\ /\ 2$ , защото в този момент тя обръща към нас едната (неогрята от другата звезда) своя половина, а в максимум блясъкът ѝ ще е пропорционален на $L_0\ /\ 2 + \Delta L_x$ (3 т.). В звездни величини амплитудата на изменение на блясъка на променливата получаваме чрез формулата на Погсон:

\Delta m = 2.5\ \lg\ ((L_0\ /\ 2 + \Delta L_x)\ /\ L_0\ /\ 2) \qquad \textbf{(2 т.)}

\Delta m \approx 3^{\mathrm m}.1 \qquad \textbf{(1 т.)}

(Приближено решение на задачата с достатъчна точност може да се получи и без да се използва формулата за лице на отрез от сфера. Лесно е да се съобрази, че площта на отреза, за който става дума, е близка по стойност на $\pi R^2$ . Тогава $\Delta L_x = (L_x\ /\ 4)(R\ /\ a)^2 = L_x\ /\ 64 \gg L_0\ /\ 2$ . Затова в израза $L_0\ /\ 2 + \Delta L_x$ можем да пренебрегнем $L_0\ /\ 2$ . С тези приближения за амплитудата на блясъка получаваме:

\Delta m = 2.5\ \lg\ ((L_x\ /\ 2L_0)(R\ /\ a)^2)

\Delta m \approx 3^{\mathrm m}.0) \qquad \textbf{(същия брой точки)}

Обикновена звезда с център A и радиус R вляво и рентгенова звезда B вдясно, на разстояние a; от B са прекарани две допирателни към звездата, които я допират в точките P (горе) и P' (долу); всяка допирателна сключва ъгъл α с оста AB.

Оригинал в Архива: NOA3_2000_10-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2000_10-12solutions.pdf