НОА 2000, III кръг (национален), 7–9 клас — Задача 2
III кръг на III национална олимпиада по астрономия, април 2000 г., ученици VII - IX клас · 12 т.
Условие
Представете си, че се намирате в затъмнена стая без прозорци, в едната стена на която е вградена тънка пластинка с малък кръгъл отвор. Всъщност вие се намирате в голяма “камера обскура”. Ако застанете до отвора и гледате към отсрещната стена, може да видите изображение на това, което се намира зад вас извън стаята, примерно на Слънцето. Забелязано е, обаче, че така получените изображения не са резки, а леко размазани. На какво се дължи това? Опитайте се да формулирате при какво условие това размазване няма да се забелязва от мястото, където се намирате. Запишете го и във вид на формула. Каква форма ще има изображението на Слънцето върху стената? Ще се променя ли тя с времето? Предполагаме, че дифракция на светлината не съществува.
Отговори
Размазването се дължи на крайния диаметър на отвора: всяка точка от Слънцето се изобразява като петно с размера на отвора. То няма да се забелязва, ако отворът се вижда под ъгъл, по-малък от , т.е. при . Изображението на Слънцето е овално (елипса), а сплеснатостта му се променя с времето, докато Слънцето се движи по небесната сфера.
Решение
За да се получи изображение, е необходимо отворът да има размери, които да позволяват преминаването на достатъчно количество светлина. За далечен обект, като Слънцето, може да се счита, че от всяка негова точка върху отвора пада успореден сноп светлина. След преминаването си през отвора всеки такъв сноп формира върху отсрещната стена петънце с резмер, равен на размера на отвора. Т.е., всяка точка от Слънцето се изобразява като петънце с размерите на отвора. Лесно е да се съобрази, че именно това е петното на размазване, което влошава рязкостта на контурите и всеки детайл от изображението. Колкото отворът е по-голям, толкова рязкостта е по-малка, и обратно (4 т.). За да не забелязваме размазването на изображението от мястото, където стоим, ние трябва да виждаме това петно под ъгъл, по-малък от една дъгова минута. Такава е разделителната способност на окото. Това е еквивалентно на твърдението, че трябва да виждаме самия отвор под ъгъл, по-малък от една минута, ако стоим до стената, където се проектира изображението (2 т.).
Нека е диаметърът на отвора, е разстоянието от отвора до отсрещната стена. Тогава:
Но условието е да е , откъдето следва, че:
(2 т.).
Тъй като Слънцето е кръг върху небесната сфера, светлината му, преминавайки през отвора, ще формира светлинен конус, който като попада върху стената, ще дава изображението на Слънцето. Ако оста на конуса е перпендикулярна на стената, то изображението на Слънцето ще бъде кръг. Това, обаче може да се случи само когато Слънцето е на хоризонта, при това фронтално срещу стената на стаята. Във всички останали случаи оста на светлинния конус ще сключва някакъв ъгъл с перпендикуляра към стената. Тогава изображението на Слънцето ще бъде овално (по-точно елипса) (2 т.). При това, колкото по-далеч е Слънцето от перпендикуляра, спуснат от отвора към отсрещната стена, толкова по-издължено ще бъде изображението. Тъй като Слънцето се движи по небесната сфера, то и изображението му ще се премества по стената. Тогава ще се променя и ъгълът, под който светлинният конус пада върху стената. Следователно ще се променя и сплеснатостта на овала (т.е. ексцентрицитетът на елипсата) на изображението на Слънцето (2 т.).
Оригинал в Архива: NOA3_2000_7-9problems.pdf · официални решения: NOA3_2000_7-9solutions.pdf