Съдържание

НОА 2001, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2001

II кръг на IV национална олимпиада по астрономия 2001, ученици XI ÷ XII клас · 11 февруари 2001 г. · 10 т.

Условие

В съзвездието Кит, на разстояние 30 светлинни години земните астрономи откриват звезда, която по своите физически характеристики е същата като Слънцето. На една от планетите, обикалящи около звездата, "малките зелени астрономчета" на тамошната цивилизация от своя страна са обърнали внимание на Слънцето. Паралаксът му, получен от тях и превърнат в наши измерителни единици, се оказал равен на $0.156''$ (дъгови секунди). Колко е дълга годината на планетата на "зелените човечета", изразена в земни денонощия?

Отговори

Решение

Разстоянието до звездата, определено от земните астрономи, е $r = 30\ \mathrm{ly}$ . Превръщаме го в парсеци:

r = 30\ \mathrm{ly} / 3.26 \approx 9.20\ \mathrm{pc}

Паралаксът на звездата, измерен от земляните, е:

\pi_{*} = 1 / r\,[\mathrm{pc}] \approx 0.109''

Това е ъгълът, под който радиусът $a_{\oplus}$ на земната орбита около Слънцето се вижда от звездата (1 т.). Паралаксът на Слънцето, определен от "зелените астрономчета", е $\pi_{\odot} = 0.156''$ . Това е ъгълът, под който радиусът $a_{\text{П}}$ на орбитата на тяхната планета около звездата се вижда от Слънцето (2 т.). В сила са съотношенията:

a_{\oplus} = r\,\pi_{*}

a_{\text{П}} = r\,\pi_{\odot}

Оттук получаваме:

a_{\text{П}} = a_{\oplus}\,\pi_{\odot} / \pi_{*} \qquad \textbf{(2 т.)}

a_{\text{П}} \approx 1.431\,a_{\oplus} = 1.431\ \mathrm{AU}

Да означим с $\mathrm{T}_{\oplus} = 1$ година периода на обикаляне на Земята около Слънцето и с $\mathrm{T}_{\text{П}}$ периода на обикаляне на планетата на "зелените човечета" около звездата. Звездата има същите физически характеристики като Слънцето, т.е считаме, че тя има същата маса (1 т.). Следователно можем да използваме III закон на Кеплер в следния вид:

a_{\text{П}}^{3} / a_{\oplus}^{3} = \mathrm{T}_{\text{П}}^{2} / \mathrm{T}_{\oplus}^{2} \qquad \textbf{(1 т.)}

Оттук намираме:

\mathrm{T}_{\text{П}} = \mathrm{T}_{\oplus}\left(a_{\text{П}}^{3} / a_{\oplus}^{3}\right)^{1/2} \qquad \textbf{(2 т.)}

\mathrm{T}_{\text{П}} \approx 1.71\ \text{земни години} \approx 625\ \text{денонощия} \qquad \textbf{(1 т.)}

Оригинал в Архива: NOA2_2001_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2001_11-12solutions.pdf