Съдържание

НОА 2001, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2001

II кръг на IV национална олимпиада по астрономия 2001, ученици XI ÷ XII клас · 11 февруари 2001 г. · 10 т.

Условие

Два астероида с маси $m_1$ и $m_2$ се намират в междузвездното пространство, далеч от всички звезди. Разстоянието между тях е $r$ , началните им скорости са равни на нула. Под действие на собствената си гравитация астероидите започват да падат един към друг. Къде астероидите ще се срещнат? След колко време ще се случи това? Приемаме, че размерите на астероидите са пренебрежимо малки в сравнение с $r$ .

Отговори

Решение

Двата астероида с маси $m_1$ и $m_2$ на разстояние $r$ и точката на сблъсъка C на разстояние $x$ от първия астероид.

Означаваме с С точката, в която ще се сблъскат двата астероида. Избираме инерциалната координатната система така, че в началния момент скоростите и на двата астероида са равни на нула. Общият импулс на системата е нула, следователно и скоростта на центъра на масите също е нула.

При тези условия законът за запазване на импулса изисква по-нататък скоростта на центъра на масите да не се променя, т.е. да остава нулева. Центърът на масите през цялото време е неподвижен. В момента на сблъсъка положенията на двата астероида, които считаме за точкови, съвпадат помежду си, а очевидно също и с положението на центъра на масите на системата. Следователно точката на сблъсъка С съвпада с положението на центъра на масите на двата астероида в началния момент (2 т.). Ако $x$ е разстоянието от първия астероид в началния момент до центъра на масите, то:

x / (r - x) = m_2 / m_1 \qquad \textbf{(1 т.)}

Оттук за местоположението на точката на сблъсъка С намираме:

x = r\,m_2 / (m_1 + m_2) \qquad \text{или} \qquad r - x = r\,m_1 / (m_1 + m_2) \qquad \textbf{(1 т.)}

Трябва да пресметнем времето, за което астероидите ще паднат един към друг. Разглеждаме движението на първия астероид в координатна система, в която вторият е неподвижен. Тъй като в началния момент скоростта на първия астероид е нула, можем да считаме, че той се движи относно втория астероид по много силно сплесната елипса, чиято голяма полуос е половината от началното разстояние между астероидите, или $r/2$ (3 т.). Всъщност орбитата, по която се движи първият астероид, има ексцентрицитет 0, тя е елипса, изродена в отсечка. "Периодът" на една пълна "обиколка" по тази елипса означаваме с $T$ . Съгласно III закон на Кеплер в обобщения му вид:

(r / 2)^{3} / T^{2} = G\,(m_1 + m_2) / 4\pi^{2} \qquad \textbf{(1 т.)}

T = \pi\left(r^{3} / (2\,G\,(m_1 + m_2))\right)^{1/2} \qquad \textbf{(1 т.)}

При падането на първия астероид към втория, първият астероид изминава само половината от "елипсата". Следователно времето $t$ , за което астероидите ще паднат един към друг, е половината от $T$ :

t = \tfrac{1}{2}\,\pi\left(r^{3} / (2\,G\,(m_1 + m_2))\right)^{1/2} \qquad \textbf{(1 т.)}

Оригинал в Архива: NOA2_2001_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2001_11-12solutions.pdf