НОА 2001, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 5

• Залезът на екватора продължава $t \approx 2^{min}08^{sec}$ (при деклинация на Слънцето $0^\circ$). Интервалът, през който и за двете диаметрално противоположни точки има части от слънчевия диск над хоризонта, е $t_1 = (108/109)\,t \approx 2^{min}07^{sec}$; ако се отчете рефракцията – около $6^{min}$.

На екватора Слънцето залязва вертикално надолу към хоризонта (1 т.). От началото на залеза (положение 1) до края му (положение 2) Слънцето се премества на разстояние, равно на видимия му ъглов диаметър $d = 32'$ (1 т.). Едно пълно завъртане по небесната сфера, или $360^\circ$, при своето видимо денонощно движение Слънцето извършва за едно слънчево денонощие, или $24^{h}$ (1 т.). Следователно за $1^{h}$ Слънцето се премества на $360^\circ / 24 = 15^\circ$, а $1^\circ$ изминава за време $60^{min}/15 = 4^{min}$. Трябва да намерим времето $t$, за което Слънцето изминава видимия си ъглов диаметър. Първо превръщаме $32'$ в градуси:

Щом $1^\circ$ се изминава за $4^{min}$, то:

Необходимо е да се отбележи, че този резултат се отнася само за случаите, когато Слънцето се намира на небесния екватор, т.е. в пролетната или есенната равноденствена точка. Ако деклинацията $\delta$ на Слънцето не е нула, то се движи по денонощен паралел, който не е голям кръг от небесната сфера. Тогава времето за залеза се удължава – полученият по-горе резултат трябва да се умножи с $1/\cos\delta$. Максимална стойност на този фактор се полчава за дните на лятното и зимното слънцестояние, когато $\delta = \pm\,23.5^\circ$, и $1/\cos\delta \approx 1.09$. Тогава $t = 2^{min}19^{sec}$. Тук обаче, не се изисква такава точност, за да се признае решението на задачата за правилно.

Тъй като линейният диаметър на Слънцето е по-голям от диаметъра на Земята, то за диаметрално противоположните точки на земния екватор А и В ще съществува интервал от време, през който и за двете точки ще има части от видимия слънчев диск, които да са над хоризонта (1 т.).

Както се вижда от чертежа, това ще е интервалът от време, за който центърът на слънчевия диск ще се премести при своето видимо денонощно движение от точка A' до точка B' (1 т.). Слънцето трябва да измине ъглово разстояние, равно на неговия видим ъглов диаметър $d$ минус ъгъла $\varphi$. Това е ъгълът, под който Земята би се виждала от разстояние, равно на линейното разстояние до Слънцето (1 т.). Линейният диаметър на Слънцето е 109 пъти по-голям от линейния диаметър на Земята. Следователно видимият от Земята ъглов диаметър на Слънцето е 109 пъти по-голям от ъгъла $\varphi$. Ъгловото разстояние A'B' ще бъде равно на $d - d / 109 = \qquad = (108/109)d$. Оттук и времето, за което Слънцето изминава това разстояние, ще е:

при което използваме получения вече резултат за времето $t$ – времето, за което Слънцето изминава целия си ъглов диаметър.

Забележка: Тук не отчитаме рефракцията. Бихме могли да оценим приблизително нейното влияние, като имаме предвид, че на хоризонта ъгълът на рефракция може да достигне $30'$. Това значително удължава търсения интервал от време, през който части от видимия слънчев диск има над хоризонта и за двете точки А и В. Центърът на видимия слънчевия диск изминава ъглово разстояние от $30'$ за време, равно на $0.5^\circ \times 4^{min} = 2^{min}$. Части от слънчевия диск са започнали да се виждат над хоризонта за точка В именно $2^{min}$ преди достигането на центъра на слънчевия диск в точка A'. Освен това части от слънчевия диск са продължили да се виждат над хоризонта за точка А също $2^{min}$ след като центърът на слънчевия диск премине през точка B'. Следователно търсеният интервал от време е: