Съдържание

НОА 2001, II кръг (областен), 7–8 клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2001

II кръг на IV национална олимпиада по астрономия 2001, ученици VII ÷ VIII клас · 11 февруари 2001 г. · 10 т.

Условие

На 4 януари 2001 г. Земята се е намирала в перихелия на своята орбита около Слънцето, т.е. била е най-близо до Слънцето. Тогава видимият за нас ъглов диаметър на Слънцето е бил $32.6'$ (дъгови минути). На 4 юли 2001 г. Земята ще е в афелия на своята орбита, т.е. най-далеч от Слънцето, и видимият му ъглов диаметър ще бъде $31.5'$ . С колко километра по-близо до Слънцето е Земята, когато е в перихелий, отколкото когато е в афелий? Считайте, че средното разстояние между Земята и Слънцето е средното аритметично на афелийното и перихелийното разстояние.

Отговори

Решение

Нека $d_{\mathrm{a}}$ е видимият ъглов диаметър на Слънцето, когато Земята е в афелия на своята орбита, $r_{\mathrm{a}}$ е разстоянието до Слънцето в същия момент, а $d_{\mathrm{p}}$ е видимият ъглов диаметър на Слънцето, когато Земята е в перихелий, и $r_{\mathrm{p}}$ е съответното разстояние до Слънцето. Колкото по-далеч от нас е Слънцето, толкова по-малък е неговият видим ъглов диаметър. Следователно:

d_{\mathrm{a}} / d_{\mathrm{p}} = r_{\mathrm{p}} / r_{\mathrm{a}} \qquad \textbf{(4 т.)}

Средното разстояние от Земята до Слънцето е $r = 149.6 \times 10^{6}$ km.

r = (r_{\mathrm{a}} + r_{\mathrm{p}}) / 2 \qquad \textbf{(1 т.)}

Решавайки системата от получените две уравнения, намираме:

r_{\mathrm{p}} = 2rd_{\mathrm{a}} / (d_{\mathrm{p}} + d_{\mathrm{a}}) \qquad \textbf{(1 т.)}

r_{\mathrm{a}} = 2rd_{\mathrm{p}} / (d_{\mathrm{p}} + d_{\mathrm{a}}) \qquad \textbf{(1 т.)}

Разликата между афелийното и перихелийното разстояние на Земята е:

\Delta = r_{\mathrm{a}} - r_{\mathrm{p}} = 2r(d_{\mathrm{p}} - d_{\mathrm{a}}) / (d_{\mathrm{p}} + d_{\mathrm{a}}) \qquad \textbf{(2 т.)}

\Delta \approx 5.3 \times 10^{6}\ \mathrm{km.} \qquad \textbf{(1 т.)}

В перихелий Земята е с $5.3 \times 10^{6}$ km по-близо до Слънцето, отколкото в афелий.

Оригинал в Архива: NOA2_2001_7-8problems.pdf · официални решения: NOA2_2001_7-8solutions.pdf