НОА 2001, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 3

• 801 mm

  Огледалцето А трябва да е на $OA = 801$ mm от центъра О. Образът на астронома е около 1000 пъти по-малък от самия него ($h/H = OM'/OM \approx 1/1000$).

Астрономът МP се намира на разстояние ОМ = 1 km от телескопа. Фокусното разстояние на огледалния обектив на телескопа е OF = $f$ = 1000 mm. Означаваме с F фокуса на обектива на телескопа и с С – центъра на сферата, от която този обектив е част (OC = 2OF). С M'P' означаваме образа на астронома, който би се получил, ако огледалото А го няма, а с M"P" – образът на астронома, който се получава, когато огледалото А е на мястото си (2 т.). Съгласно добре познатата формула от геометричната оптика:

Оттук получаваме:

С помощта на плоското огледало А, наклонено под ъгъл $45^\circ$ към оптичната ос на телескопа, образът на астронома се отклонява на разстояние AM" = 200 mm от оптичната ос. Тъй като очевидно AM' = AM", то търсеното разстояние ОА, на което трябва да се постави огледалото А, за да е изпълнено това условие, е:

Забележка: На дадения чертеж някои от показаните светлинни лъчи, тръгващи от астронома, с чиято помощ е построен неговият образ, "преминават" през огледалото А, преди да стигнат до обектива на телескопа. Такъв е лъчът, идващ от главата на астронома и минаващ през фокуса на обектива, както и лъчът, идващ от краката на астронома и съвпадащ с оптичната ос на обектива (на чертежа той не е означен със стрелки). На практика това, разбира се, е невъзможно и образът на астронома не се получава от тези лъчи. Всъщност той се получава от други светлинни лъчи, тръгващи от самия астроном в други посоки – не бива да се забравя, че всяка точка от наблюдавания обект излъчва във всички посоки. Това са лъчи, на които огледалото А не пречи да достигнат до обектива на телескопа. Техният ход, обаче, по-трудно се построява. Но те формират образа на астронома на същото място и в същия размер, както и "фиктивните" лъчи, използвани от нас. Ние сме избрали именно тях само за улеснение, понеже правилата за тяхното построяване са най-прости. Същото се отнася и за следващия чертеж.

Нека с MP = $H$ отбележим истинския ръст на астронома, а с M"P" = $h$ височината на неговия образ. Тъй като M"P" e огледален образ на образа M'P', то очевидно M'P' = $h$. Лъчът PO и лъчът OP' сключват равни ъгли с оптичната ос, съгласно закона за падащите и отразените лъчи:

Триъгълниците $\Delta$ POM и $\Delta$ P'OM' са подобни и следователно:

Образът на астронома е около 1000 пъти по-малък от самия астроном.

Има и други два варианта на изчисляване на това съотношение, като се използва първият от дадените чертежи. Тези два варианта се състоят в използването някое от следните две равенства:

и като го комбинираме с (1), стигаме до същия резултат.