Съдържание

НОА 2001, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2001

II кръг на IV национална олимпиада по астрономия 2001, ученици IX ÷ X клас · 11 февруари 2001 г. · 10 т.

Условие

Спортист изхвърля гюлле на разстояние 20 m, когато е на Земята. На какво разстояние ще изхвърли гюллето същият спортист, ако се намира на Луната? Съпротивлението на земния въздух да се пренебрегне.

Отговори

Решение

Полет на гюллето по парабола: начална скорост $v_0$ под ъгъл $\alpha$ с хоризонта, компоненти $v_x$ и $v_y$, далечина на полета $s$.

От физиката е известно, че при хвърляне на тяло с начална скорост $v_0$ , сключваща ъгъл $\alpha$ с хоризонта, най-голяма далечина $s$ на полета се постига, когато $\alpha = 45^\circ$ . Предполагаме, че спортистът знае това и в хода на тренировките си е изработил способ за оптимално хвърляне на гюллето. Всъщност обаче, крайният резултат, който ще получим като решение на задачата, не зависи от този ъгъл, стига само той да е един и същ, когато гюллето се тласка на Земята и когато се тласка на Луната (1 т.). При положение, че $\alpha = 45^\circ$ , за хоризонталната и вертикалната компоненти на началната скорост $v_0$ можем да напишем:

v_{0x} = v_{0y} = v_0\,\square/2 \qquad (1) \qquad \textbf{(1 т.)}

Разглеждаме случая, когато гюллето се тласка на Земята. То лети по парабола. При достигане на максималната височина на полета вертикалната компонента на скоростта на гюллето става нула:

0 = v_{0y} - gt \qquad \textbf{(1 т.)}

Тук $g$ е земното ускорение, а $t$ е времето, за което гюллето достига до максималната височина на полета си. Намираме времето $t$ :

t = v_{0y} / g \qquad (2) \qquad \textbf{(1 т.)}

Втората част от траекторията се изминава за същото време и следователно общото време на полета е $2t$ (1 т.). По оста X гюллето се движи с постоянна скорост, равна на $v_{0x}$ , и изминава разстояние $s$ . Следователно:

s = v_{0x} \,.\, 2t \qquad \textbf{(1 т.)}

Замествайки тук получените стойности от (1) и (2), намираме:

s = v_0^2 / g \qquad \textbf{(1 т.)}

На Луната спортистът ще има същата мускулна сила и ще е способен да придаде на гюллето същия начален импулс, а значи и същата начална скорост $v_0$ , понеже гюллето има същата маса. (Считаме, че гюллетласкачът се намира в някоя от залите на бъдещата обитаема лунна база, защото ако е на откритата лунна повърхност, ще трябва да е със скафандър, който много ще му пречи. Предполагаме също, че е успял да се приспособи към по-слабата гравитация на Луната и да развие същите сръчности при изтласкването на гюллето, каквито е имал на Земята). Ако $s_{\text{Л}}$ е разстоянието, на което се изтласква гюллето в този случай, то:

s_{\text{Л}} = v_0^2 / g_{\text{Л}} \qquad \textbf{(1 т.)}

където $g_{\text{Л}}$ е ускорението на силата на тежестта на Луната. Тъй като $g_{\text{Л}} = g$ / 6, получаваме:

s_{\text{Л}} = 6s \qquad \textbf{(1 т.)}

s_{\text{Л}} = 120\ \text{m} \qquad \textbf{(1 т.)}

Забележка: При изтласкването спортистът прилага към гюллето дадена сила – такава, каквато е способен да упражни със своите мускули – за определен интервал от време. Именно силата е величината, която е една и съща, независимо дали спортистът се намира на Земята, или на Луната. Но при изтласкването на гюллето тази сила се прилага под ъгъл спрямо хоризонта. Вертикалната компонента на импулса, който получава гюллето, се определя от разликата между вертикалната компонента на мускулната сила, приложена от спортиста, и силата на тежестта. Тъй като на Луната и на Земята силата на тежестта, действаща върху гюллето, е различна, то вертикалната компонента на импулса, който то ще получи в двата случая, ще е различна. Ето защо твърдението, че гюллето ще получи един и същ импулс на Луната и на Земята, не е точно. На Луната то ще получи по-голям импулс. Така че, даденото по-горе решение представлява оценка за минималната далечина на полета на гюллето на Луната.

Оригинал в Архива: NOA2_2001_9-10problems.pdf · официални решения: NOA2_2001_9-10solutions.pdf