Съдържание

НОА 2001, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2001

IV Национална олимпиада по астрономия, III кръг, ученици XI – XII клас

Внимание: Бележка към темата

Фиг.1 и фиг.2, към които препраща практическата задача, липсват в архивното копие на условието — то е само от две страници и съдържа единствено чертежа към задача 2. Съответните чертежи се виждат само в решенията и са включени там.

Условие

Наблюдаваме Слънцето, проектирано върху хартиен екран, с помощта на телескоп рефрактор. Първо получаваме фокусирано изображение на Слънцето с диаметър $d_1$ на разстояние $x_1$ от окуляра. След това получаваме фокусирано изображение на Слънцето с диаметър $d_2$ на разстояние $x_2$ от окуляра. Ако на същия телескоп поставим тъмен филтър и погледнем към Слънцето направо през окуляра, с какво увеличение ще наблюдаваме Слънцето?

Отговори

Решение

Решение. Нека за определеност считаме, че телескопът се състои от две двойно изпъкнали лещи.

Оптична схема на рефрактор: обектив вляво, междинен образ S' с размер D, окуляр, и хартиен екран вдясно с образ S'' и размер d; означени са разстоянията F, a, f и x. — Ход на лъчите: обектив, образ S' в неговия фокус, окуляр и образ S'' върху хартиения екран.

С помощта на обектива се получава образът на Слънцето S', който е разположен във фокалната повърхност на обектива. С помощта на окуляра върху хартиения екран се получава образът S'' на образа S'. Фокусното разстояние на обектива е $F$ . Тъй като видимият ъглов диаметър на Слънцето $\delta$ е малък, то за линейния размер $D$ на изображението S' можем да напишем:

D = F\delta \qquad (1)

където $\delta$ е в радиани. Означаваме с $a$ растоянието от S' до окуляра и с $f$ фокусното разстояние на окуляра. Използваме добре известната формула:

1/a + 1/x = 1/f \qquad (2)

също както и формулата за увеличението на окуляра:

a/x = D/d \qquad (3)

Двата случая в задачата се получават, като окулярът се наглася на две различни разстояния $a_1$ и $a_2$ от S' (т.е. от фокуса на обектива), и съответно образът S'' се получава на две различни разстояния $x_1$ и $x_2$ от окуляра, където и трябва да се постави хартиеният екран, и има два различни диаметъра $d_1$ и $d_2$ . От формула (2), записана за двата случая в задачата, получаваме:

a_1 = x_1 f\,/\,(x_1 - f) \qquad (4)

a_2 = x_2 f\,/\,(x_2 - f)

a_1\,/\,a_2 = (x_1\,/\,x_2)\,((x_2 - f)\,/\,(x_1 - f)) \qquad (5)

От формула (3), записана за двата случая, следва:

a_1\,/\,a_2 = (x_1\,/\,x_2)\,(d_2\,/\,d_1) \qquad (6)

Обединявайки (5) и (6), получаваме:

f = (d_1 x_2 - d_2 x_1)\,/\,(d_1 - d_2) \qquad (7)

От (3) и (4) пресмятаме:

D = (d_1 x_2 - d_2 x_1)\,/\,(x_1 - x_2)

откъдето като използваме (1), намираме:

F = (1\,/\,\delta)(d_1 x_2 - d_2 x_1)\,/\,(x_1 - x_2) \qquad (8)

При пряко наблюдение на Слънцето през окуляра на телескопа, за да видим фокусирано изображение на Слънцето, трябва да изместим окуляра така, че неговият фокус да съвпадне с фокуса на обектива. Тогава увеличението, с което наблюдаваме Слънцето, е:

W = F\,/\,f

Изпозваме получените стойности за фокусните разстояния на окуляра и обектива от (7) и (8) и изчисляваме окончателно:

W = (1\,/\,\delta)(d_1 - d_2)\,/\,(x_1 - x_2)

Същия резултат можем да получим дори и по по-кратък път, ако използваме следните съотношения, произтичащи от подобието на двата защриховани триъгълници на чертежа:

d_1\,/\,2(x_1 - f) = D\,/\,2f

d_2\,/\,2(x_2 - f) = D\,/\,2f

заедно с равенството (1).

Оригинал в Архива: NOA3_2001_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2001_11-12solutions.pdf