Съдържание

НОА 2001, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2001

IV Национална олимпиада по астрономия, III кръг, ученици XI – XII клас

Внимание: Бележка към темата

Фиг.1 и фиг.2, към които препраща практическата задача, липсват в архивното копие на условието — то е само от две страници и съдържа единствено чертежа към задача 2. Съответните чертежи се виждат само в решенията и са включени там.

Условие

Една от най-близките до нас звезди е т.нар. летяща звезда на Барнард. Пространствената ѝ скорост е $v_1$ = 400 km/s. Предполага се, че звездата е придобила такава висока скорост, тъй като някога е влизала в състава на тясна двойна система, чиято друга, по-масивна компонента е избухнала.

• Приемаме, че масата на звездата на Барнард е $M_1$ = 1 $M_\odot$ , а масата на другата звезда преди взрива е била $M_2$ = 10 $M_\odot$ . След взрива масата на остатъка от избухналата звезда е $M_3 \ll M_\odot$ . Намерете разстоянието между двете звезди преди взрива. Считайте, че преди взрива двете звезди са се движили по кръгови орбити една около друга.

• Ако масата на остатъка е $M_3$ = 1 $M_\odot$ , то какви биха били пространствените скорости на звездата на Барнард и остатъка от масивната звезда след раздалечаването им?

Отговори

Решение

Решение. Нека $r_1$ и $r_2$ са радиусите на орбитите на двете звезди преди взрива спрямо общия център на масите. Разстоянието между звездите във всеки момент е $a = r_1 + r_2$ . В сила е следното съотношение:

r_1\,/\,r_2 = M_2\,/\,M_1 \qquad (1)

Ако $T$ е орбиталният период на движение на звездите, то:

T = 2\,\pi\,r_1\,/\,v_1 \qquad (2)

Съгласно третият закон на Кеплер:

(r_1 + r_2)^{3}\,/\,T^{2} = G\,(M_1 + M_2)\,/\,4\pi^{2}

където $G$ е гравитационната константа. Оттук използвайки (1) и (2) получаваме:

r_1 = G\,M_2\,/\,v_1^{2}\,(1 + M_1\,/\,M_2)^{2} \qquad (3)

Разстоянието между звездите преди взрива е:

a = r_1 + r_2 = r_1\,(1 + M_1\,/\,M_2) = G\,M_2\,/\,v_1^{2}\,(1 + M_1\,/\,M_2) \qquad (4)

a = G\cdot 10\,M_\odot\,/\,(v_1^{2}\,(11/10)) \approx 7.5\cdot 10^{6}\ \text{km}

Нека преди взрива разстоянието между звездите е $a = 7.5\cdot 10^{6}$ km. По-леката звезда има скорост $v_1$ = 400 km/s, а по-тежката $v_2 = v_1 M_1\,/\,M_2$ = 40 km/s. След взрива остатъкът от избухналата звезда има маса $M_3 = M_1 = 1\,M_\odot$ . Непосредствено след взрива неизбухналата звезда има скорост $v_1$ , а остатъкът от избухналата звезда – $v_2$ , но те вече не се движат по кръгови орбити около центъра на масите, защото поради намалялата маса на избухналата звезда, се привличат много по-слабо и системата се разпада. След като се разлетят на голямо разстояние, скоростите на звездата и на остатъка от избухналата звезда стават съответно $v_1{}'$ и $v_2{}'$ . Това са пространствените скорости, които търсим.

Скоростите на звездите $v_1$ , $v_2$ , $v_1{}'$ и $v_2{}'$ са относно координатна система, в която центърът на масите на системата преди взрива е неподвижен. След взрива на едната звезда, обаче, голяма част от нейната маса се превръща в бързо разширяваща се мъглявина, в средата на която остават едната звезда и остатъкът от другата. Гравитационното въздействие на тази мъглявина върху тях е нулево. Центърът на масите на новата система от две тела вече не е неподвижен относно координатната система, в която центърът на масите преди взрива е бил неподвижен. Скоростта на новия център на масите относно стария е: $v_c = (v_1 - v_2)\,/\,2$ . Скоростите на звездата и остатъка относно новия център на масите непосредствено след взрива са: $v_{1c} = v_{2c} = (v_1 + v_2)\,/\,2$ , ( $v_{1c} = v_1 - v_c$ ; $v_{2c} = v_c + v_2$ ).

Записваме закона на запазване на енергията в координатната система, свързана с новия център на масите:

M_\odot\,v_{1c}^{2}\,/\,2 + M_\odot\,v_{2c}^{2}\,/\,2 - G\,M_\odot^{2}\,/\,a = M_\odot\,v_{1c}'^{2}\,/\,2 + M_\odot\,v_{2c}'^{2}\,/\,2

където $v_{1c}'$ и $v_{2c}'$ са скоростите на звездата и остатъка в новата координатна система, след като се отдалечат на голямо разстояние (или в безкрайност). Тъй като $v_{1c} = v_{2c}$ и $M_3 = M_1 (= M_\odot)$ то $v_{1c}' = v_{2c}'$ .

Оттук получаваме:

v_{1c}^{2} - G\,M_\odot\,/\,a = v_{1c}'^{2}

v_{1c}' = ((v_1 + v_2)^{2}\,/\,4 - G\,M_\odot\,/\,a)^{1/2}

v_{1c}' = 175\ \text{km/s}

За да намерим пространствените скорости, трябва да преминем в първоначалната координатна система: $v_1{}' = v_c + v_{1c}'$ и $v_2{}' = v_c - v_{1c}'$ . Тъй като $v_c = (v_1 - v_2)\,/\,2$ , то за пространствените скорости получаваме:

v_1{}' = (v_1 - v_2)\,/\,2 + ((v_1 + v_2)^{2}\,/\,4 - G\,M_\odot\,/\,a)^{1/2} = 355\ \text{km/s}

v_1{}' = (v_1 - v_2)\,/\,2 - ((v_1 + v_2)^{2}\,/\,4 - G\,M_\odot\,/\,a)^{1/2} = 5\ \text{km/s}

(Бележка на транскриптора: вторият израз е отпечатан също с означение $v_1{}'$ ; по смисъл това е $v_2{}'$ .)

Оригинал в Архива: NOA3_2001_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2001_11-12solutions.pdf