Съдържание

НОА 2001, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2001

IV Национална олимпиада по астрономия, III кръг, ученици XI – XII клас

Внимание: Бележка към темата

Фиг.1 и фиг.2, към които препраща практическата задача, липсват в архивното копие на условието — то е само от две страници и съдържа единствено чертежа към задача 2. Съответните чертежи се виждат само в решенията и са включени там.

Условие

Вероятно сте наблюдавали как около новолуние освен тънкия светещ сърп на Луната, се вижда и слабо сияние на "тъмната", неосветената от Слънцето страна на Луната, която е обърната към Земята (пепелна светлина).

Забележка: Известно е, че дори във фаза новолуние Луната в повечето случаи изглежда като много тънък сърп, защото поради наклона на лунната орбита към еклиптиката, Луната в новолуние не се намира точно на правата, свързваща Земята и Слънцето. При тази задача светенето на тънкия сърп на Луната в новолуние да не се разглежда и размерите му в сравнение с тези на "тъмната" част от Луната да се пренебрегнат.

Оценете колко пъти видимият блясък на Луната в пълнолуние е по-силен от пепелната светлина на Луната в новолуние.

Звездната величина на Луната в пълнолуние е $-12^{\mathrm{m}}.7$ . Каква е звездната величина на Луната в новолуние?

Отговори

Решение

Решение. В пълнолуние Луната свети с отразена от Слънцето светлина. Пепелната светлина, с която свети "тъмната", неосветена от Слънцето страна на Луната в новолуние и други фази, е отразена от Луната земна светлина. Приемаме, че Луната отразява слънчевата (а също и земната) светлина като диск с радиус $R_{\text{л}}$ , равен на радиуса на Луната, и поради това, че повърхността ѝ не е огледално гладка, я разсейва във всички посоки. Аналогично условие приемаме и за отразяването и разсейването на слънчевата светлина от Земята, чийто радиус е $R_{\text{з}}$ . Означаваме с $r_{\text{с}}$ разстоянието от Земята до Слънцето, а с $r_{\text{л}}$ разстоянието от Земята до Луната. Светимостта на Слънцето е $L_{\text{с}}$ . Средната осветеност на повърхността на лунния диск от Слънцето в пълнолуние е пропорционална на $L_{\text{с}}\,/\,r_{\text{с}}^{2}$ . Следователно ако площта на видимия лунен диск е $S_{\text{л}}$ , а албедото на Луната е $A_{\text{л}}$ , то общото излъчване на видимия лунен диск в пълнолуние е:

W_{\text{лп}} \sim (L_{\text{с}}\,/\,r_{\text{с}}^{2})\,A_{\text{л}}\,S_{\text{л}}

При новолуние към Луната е обърната изцяло осветената от Слънцето страна на Земята. Общото излъчване на видимия от Луната земен диск е:

W_{\text{з}} \sim (L_{\text{с}}\,/\,r_{\text{с}}^{2})\,A_{\text{з}}\,\pi\,R_{\text{з}}^{2}

където $A_{\text{з}}$ е албедото на Земята, а $\pi R_{\text{з}}^{2}$ е площта на видимия земен диск. Средната осветеност на повърхността на Луната от Земята в този случай е пропорционална на $W_{\text{з}}\,/\,r_{\text{л}}^{2}$ и общото излъчване на Луната в новолуние е:

W_{\text{лн}} \sim (W_{\text{з}}\,/\,r_{\text{л}}^{2})\,A_{\text{л}}\,S_{\text{л}}

Отношението на общото излъчване на Луната в пълнолуние към това в новолуние е:

W_{\text{лп}}\,/\,W_{\text{лн}} = ((L_{\text{с}}\,/\,r_{\text{с}}^{2})\,A_{\text{л}}\,S_{\text{л}})\,/\,((W_{\text{з}}\,/\,r_{\text{л}}^{2})\,A_{\text{л}}\,S_{\text{л}})

W_{\text{лп}}\,/\,W_{\text{лн}} = (L_{\text{с}}\,/\,r_{\text{с}}^{2})\,/\,(((L_{\text{с}}\,/\,r_{\text{с}}^{2})\,A_{\text{з}}\,\pi\,R_{\text{з}}^{2})\,/\,r_{\text{л}}^{2})

W_{\text{лп}}\,/\,W_{\text{лн}} = r_{\text{л}}^{2}\,/\,A_{\text{з}}\,\pi\,R_{\text{з}}^{2}

Използвайки стойностите за $A_{\text{з}}$ и $R_{\text{з}}$ от таблиците с данните за планетите, получаваме:

W_{\text{лп}}\,/\,W_{\text{лн}} \approx 3000

Тъй като разстоянието от Земята до Луната е едно и също, отношението на осветеностите, които Луната създава на Земята в пълнолуние и в новолуние, е равно на отношението на общото излъчване на Луната при пълнолуние и в новолуние. Следователно видимият блясък на Луната в пълнолуне е около 3000 пъти по-силен от блясъка ѝ в новолуние.

Нека $m = -\,12^{\mathrm{m}}.7$ и $m_1$ са звездните величини на Луната съответно в пълнолуние и в новолуние. Използваме формулата на Погсон:

\lg\,(W_{\text{лп}}\,/\,W_{\text{лн}}) = 0.4\,(m_1 - m)

m_1 = m + 2.5\,\lg\,(W_{\text{лп}}\,/\,W_{\text{лн}})

m_1 \approx -\,4^{\mathrm{m}}.0

Оригинал в Архива: NOA3_2001_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2001_11-12solutions.pdf