НОА 2001, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 5. Практическа задача.

• 44 min

  T1 ≈ 44 min — продължителност на окултацията (d = 51 mm, d1 = 41.5 mm, δ = 0.5°, T = 27.3 денонощия).

Звездата, участваща в окултацията, означаваме с C. За да намерим точката от края на лунния диск, в която е станало откритието на звездата, трябва да определим направлението на движението на Луната на фона на звездите. Това може да стане по два начина. Първият начин е да копираме върху прозрачната милиметрова хартия положението на Луната и на звездата C от снимка 1, после да наложим копирания лунен диск върху лунния диск на снимка 2 и да копираме оттам новото положение на звездата C. Този начин, обаче, е много неточен, защото когато налагаме изображението на Луната от снимка 1 върху това на снимка 2, ние не можем точно да ориентираме лунния диск. Бихме могли освен неговия контур, да копираме и някои детайли от релефа на снимка 1 и така да установим същата ориентация на Луната, когато налагаме прозрачната хартия върху снимка 2, но детайлите са твърде размити.

Затова постъпваме по друг начин. Копираме звездите А, В и С и също колкото се може по-точно целия контур на лунния диск от снимка 1. После налагаме копираните положения на звездите А, В и С върху снимка 2 и копираме отново целия контур на лунния диск, който вече е отместен спрямо първото си положение 1 в положение 2. Внимателно измерваме диаметъра на лунния диск, като използваме хоризонталните и вертикалните линии от милиметровата мрежа, от които лунният диск отсича най-дълги хорди. Той е $d = 51\ \mathrm{mm}$. Някъде близо до пресечната точка на тези най-дълги хорди е и центърът на лунния диск.

Определяме центровете $O_1$ и $O_2$ на лунния диск в положенията 1 и 2. Правата, свързваща $O_1$ и $O_2$, показва направлението, в което Луната се движи на фона на звездното небе. Тази права би могла да се получи и като се построи обща допирателна към двата лунни диска, копирани върху прозрачната хартия. Построяваме нова права линия, успоредна на вече построената права, през точка C, където е звездата в началото на окултацията.

Това можем да направим, като очертаем един правоъгълник по линиите на милиметровата мрежа, чиито диагонал се явява правата $O_1O_2$, и определим в какво съотношение са дължините на неговите страни. После построяваме подобен на него правоъгълник с връх в точка C. Диагоналът на този правоъгълник ще е част от права, минаваща през C и успоредна на $O_1O_2$. Тази права пресича лунния диск с център $O_2$ в точка C'. Тя именно е точката, в която става откритието на звездата.

За да намерим колко време е продължила окултацията на звездата, трябва да пресметнем за колко време Луната при видимото си движение на фона на звездите, се премества на разстояние CC'. Считаме, че това е дъга от голям кръг от небесната сфера. Видимият ъглов диаметър на Луната е $\delta = 0.5^{\circ}$ и на снимките това съответства на разстояние $d = 51\ \mathrm{mm}$, както установихме. Дължината на хордата CC' е $d_1 = 41.5\ \mathrm{mm}$. Следователно ъгловата дължина на дъгата CC' е:

Едно пълно завъртане на фона на звездите Луната прави за един сидеричен лунен месец, който е $T = 27.3$ денонощия. Път, равен на $\delta_1$ Луната ще измине за време:

Точността на получения резултат зависи от точността на нашите построения и измервания. Мащабът на снимките и милиметровата мрежа ни дават възможност да измерваме с точност до 0.5 mm. В действителност, обаче, ние не я постигаме, защото копирането на изображенията внася допълнителни неточности, също както и процедурите по построяването на правата CC'. Точността на получения резултат зависи също и от точността на изходните данни, които са ни дадени. Това са сидеричният лунен месец, и ъгловият диаметър на видимия лунен диск. Освен това, в решаването на задачата ние приемаме, че Луната се движи по окръжност с постоянна скорост, което не е вярно. Скоростта на движението на Луната по небесната сфера зависи от това в кой участък от елиптичната орбита тя се намира.