НОА 2001, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 4

• Когато Луната е в апогей ($T_{\text{П}} / T_{\text{А}} = r_{\text{П}} / r_{\text{А}}$).

Решение. Луната обикаля около Земята в посока от запад на изток и гледана от земната повърхност, се премества в тази посока на фона на неподвижните звезди. Окултации на звезди от Луната стават, когато при това свое видимо движение тя закрива звездите. Звездите се скриват откъм източната страна на видимия лунен диск и се откриват от него откъм западната му страна.

В перигей Луната е по-близо до нас и видимият ъглов диаметър на лунния диск е по-голям, което би трябвало да доведе до по-голяма продължителност на окултациите на звезди от Луната, отколкото, когато тя е в апогей. От друга страна, съгласно втория закон на Кеплер луната в перигей се движи около Земята с най-голяма скорост, поради което продължителността на окултациите би трябвало да се съкращава. Крайният извод зависи от това кой от двата посочени фактора надделява над другия.

Нека $v_{\text{П}}$ и $r_{\text{П}}$ са линейната скорост на Луната и разстоянието ѝ до Земята в перигей, а $v_{\text{А}}$ и $r_{\text{А}}$ са стойностите на съответните величини в апогей. Според II закон на Кеплер:

Като имаме предвид, че $v_{\text{П}} = \omega_{\text{П}}\, r_{\text{П}}$ и $v_{\text{А}} = \omega_{\text{А}}\, r_{\text{А}}$, където $\omega_{\text{П}}$ и $\omega_{\text{А}}$ са ъгловите скорости на движение на Луната в перигей и апогей, то:

Означаваме с $\delta_{\text{П}}$ и $\delta_{\text{А}}$ са видимите ъглови размери на Луната в перигей и апогей. В сила е съотношението:

Продължителностите на една централна окултация на звезда от Луната в перигей и в апогей са съответно:

Използвайки (1) и (2) за съотношението на двата интервала от време получаваме:

Понеже очевидно $r_{\text{П}} < r_{\text{А}}$, то и $T_{\text{П}} < T_{\text{А}}$. Продължителността на окултациите в апогей е по-голяма.

Други условия да бъдат окултациите на Звезди от Луната по-продължителни, са следните:

• Движението на Луната по орбитата ѝ около Земята е в същата посока, в която е и околоосното въртене на Земята. Точките от земната повърхност "догонват" Луната при нейното движение на фона на звездите от запад на изток. Следователно колкото линейната скорост на въртене на една точка от земната повърхност относно земната ос е по-голяма, толкова окултациите на звезди от Луната ще бъдат по-продължителни. Така че, продължителността на окултациите на звезди се увеличава с приближаване на земния наблюдател към екватора.
• Видимото отместване на Луната на фона на звездите става по голям кръг от небесната сфера, представляващ проекция на лунната орбита около Земята. Той е много близък до еклиптиката, понеже сключва с нея ъгъл само $5^{\circ}$. Както по-горе беше казано, продължителността на окултациите се удължава за наблюдател от земната повърхност, който има по-голяма линейна скорост относно земната ос на въртене. Този ефект е максимален, когато посоката на движение на земния наблюдател около оста на Земята съвпада с посоката на видимото движение на Луната на фона на звездите. Това става, когато Луната се движи по участъци от своята орбита, които са успоредни на равнината на земния екватор, а именно, когато Луната е близо до точките от еклиптиката, съответстващи на лятното и зимното слънцестоене.
• Друг фактор за увеличаване на продължителността на окултациите е и близостта на Луната до зенита за наблюдателя. Колкото по-близо до зенита е Луната, толкова разстоянието от наблюдателя на земната повърхност до нея е по-малко и видимият ѝ ъглов диаметър е по-голям, а като е на хоризонта, Луната е най-далеч от наблюдателя в дадена точка от земната повърхност.