Съдържание

НОА 2001, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2001

IV НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ, III кръг, УЧЕНИЦИ IX - X КЛАС

Внимание: Бележка към темата

Фиг.1 и фиг.2 към практическата задача (видимата орбита на по-леката звезда и кривата на лъчевите скорости) не са отпечатани в архивния файл с условията.

Условие

Вероятно сте наблюдавали как около новолуние освен тънкия светещ сърп на Луната, се вижда и слабо сияние на "тъмната", неосветената от Слънцето страна на Луната, която е обърната към Земята (пепелна светлина).

Оценете колко пъти видимият блясък на Луната в пълнолуние е по-силен от пепелната светлина на Луната в новолуние.

Звездната величина на Луната в пълнолуние е $-12^{\mathrm{m}}.7$ . Каква е звездната величина на Луната в новолуние?

Забележка: Известно е, че дори във фаза новолуние Луната в повечето случаи изглежда като много тънък сърп, защото поради наклона на лунната орбита към еклиптиката, Луната в новолуние не се намира точно на правата, свързваща Земята и Слънцето. При тази задача светенето на тънкия сърп на Луната в новолуние да не се разглежда и размерите му в сравнение с тези на "тъмната" част от Луната да се пренебрегнат.

Отговори

Решение

Решение. В пълнолуние Луната свети с отразена от Слънцето светлина. Пепелната светлина, с която свети "тъмната", неосветена от Слънцето страна на Луната в новолуние и други фази, е отразена от Луната земна светлина. Приемаме, че Луната отразява слънчевата (а също и земната) светлина като диск с радиус $R_{\text{Л}}$ , равен на радиуса на Луната, и поради това, че повърхността ѝ не е огледално гладка, я разсейва във всички посоки. Аналогично условие приемаме и за отразяването и разсейването на слънчевата светлина от Земята, чийто радиус е $R_{\text{З}}$ . Означаваме с $r_{\text{С}}$ разстоянието от Земята до Слънцето, а с $r_{\text{Л}}$ разстоянието от Земята до Луната. Светимостта на Слънцето е $L_{\text{С}}$ . Средната осветеност на повърхността на лунния диск от Слънцето в пълнолуние е пропорционална на $L_{\text{С}} / r_{\text{С}}^2$ . Следователно ако площта на видимия лунен диск е $S_{\text{Л}}$ , а албедото на Луната е $A_{\text{Л}}$ , то общото излъчване на видимия лунен диск в пълнолуние е:

W_{\text{ЛП}} \sim (L_{\text{С}} / r_{\text{С}}^2)\, A_{\text{Л}}\, S_{\text{Л}}

При новолуние към Луната е обърната изцяло осветената от Слънцето страна на Земята. Общото излъчване на видимия от Луната земен диск е:

W_{\text{З}} \sim (L_{\text{С}} / r_{\text{С}}^2)\, A_{\text{З}}\, \pi R_{\text{З}}^2

където $A_{\text{З}}$ е албедото на Земята, а $\pi R_{\text{З}}^2$ е площта на видимия земен диск. Средната осветеност на повърхността на Луната от Земята в този случай е пропорционална на $W_{\text{З}} / r_{\text{Л}}^2$ и общото излъчване на Луната в новолуние е:

W_{\text{ЛН}} \sim (W_{\text{З}} / r_{\text{Л}}^2)\, A_{\text{Л}}\, S_{\text{Л}}

Отношението на общото излъчване на Луната в пълнолуние към това в новолуние е:

W_{\text{ЛП}} / W_{\text{ЛН}} = ((L_{\text{С}} / r_{\text{С}}^2)\, A_{\text{Л}}\, S_{\text{Л}}) / ((W_{\text{З}} / r_{\text{Л}}^2)\, A_{\text{Л}}\, S_{\text{Л}})

W_{\text{ЛП}} / W_{\text{ЛН}} = (L_{\text{С}} / r_{\text{С}}^2) / (((L_{\text{С}} / r_{\text{С}}^2)\, A_{\text{З}}\, \pi R_{\text{З}}^2) / r_{\text{Л}}^2)

W_{\text{ЛП}} / W_{\text{ЛН}} = r_{\text{Л}}^2 / A_{\text{З}}\, \pi R_{\text{З}}^2

Използвайки стойностите за $A_{\text{З}}$ и $R_{\text{З}}$ от таблиците с данните за планетите, получаваме:

W_{\text{ЛП}} / W_{\text{ЛН}} \approx 3000

Тъй като разстоянието от Земята до Луната е едно и също, отношението на осветеностите, които Луната създава на Земята в пълнолуние и в новолуние, е равно на отношението на общото излъчване на Луната при пълнолуние и в новолуние. Следователно видимият блясък на Луната в пълнолуние е около 3000 пъти по-силен от блясъка ѝ в новолуние.

Нека $m = -\,12^{\mathrm{m}}.7$ и $m_1$ са звездните величини на Луната съответно в пълнолуние и в новолуние. Използваме формулата на Погсон:

\lg (W_{\text{ЛП}} / W_{\text{ЛН}}) = 0.4\, (m_1 - m)

m_1 = m + 2.5 \lg (W_{\text{ЛП}} / W_{\text{ЛН}})

m_1 \approx -\,4^{\mathrm{m}}.0

Справочни данни за всички възрастови групи

Видим ъглов диаметър на Слънцето	$\delta = 30'$ (дъгови минути)
Видим ъглов диаметър на Луната	$\delta = 30'$ (дъгови минути)
Разстояние от Земята до Луната	$r = 380\ 000\ \mathrm{km}$
Радиус на Луната	$R_{л} = 1740\ \mathrm{km}$
Звездна величина на Луната в пълнолуние	$m = -12^{\mathrm{m}}.7$
Сидеричен лунен месец	$27.3^{\mathrm{d}}$
Синодичен лунен месец	$29.5^{\mathrm{d}}$

Оригинал в Архива: NOA3_2001_9-10problems.pdf · официални решения: NOA3_2001_9-10solutions.pdf