НОА 2002, I кръг (общински), 11–12 клас — Задача 4. Красива африканска принцеса.
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРА ОВАНИЕТОИ НАУКАТА. Централна комисия за провеждане на олимпиадата по АСТРОНОМИЯ. I кръг на V национална олимпиада поастрономия, ноември 2001 г. УЧЕНИЦИ XI ÷ XII КЛАС
Условие
В тайнствено африканско царство на екватора живее принцеса, прекрасна като шоколад. Четирима воини, победили много лъвове и крокодили, си съперничат за ръката и сърцето ѝ. Царят, нейният баща, им устройва състезание в деня на пролетното равноденствие. Принцесата ще получи този, който успее да стигне на най-голямо разстояние от двореца, като върви без да спира от изгрев слънце, докато види следващия изгрев на слънцето. Първият воин тръгва на север, вторият – на юг, третият – на изток, четвъртият – на запад. Ако приемем, че и четиримата се движат с еднаква скорост, то ще има ли победител в състезанието? В случай, че има, кой ще бъде той? Обяснете отговора си.
Пресметнете пътя, изминат от всеки воин, ако скоростта им е 5 км/ч.
Решение
Ако стоим само в царския дворец, времето от изгрева на Слънцето до следващия му изгрев е 24 часа. (Пренебрегваме ефектите, свързани с изменението на деклинацията на Слънцето и неравномерното му движение по еклиптиката). Същото е и за воините, които тръгват на север и на юг. За онзи, който тръгва на изток, не е така. Самата Земя се върти от запад на изток и поради това се наблюдава видимото денонощно движение на небесниите светила в обратната посока (от изток на запад). Воинът, който върви на изток, се движи около оста на Земята със скорост, малко по-голяма от скоростта на точките от земната повърхност. Следователно за него видимото движение на Слънцето ще е по-бързо и времето от първия изгрев на Слънцето до следващия изгрев, който той вижда, ще е малко по-малко от 24 часа. Обратно, за онзи, който тръгва на запад, това време ще е по-дълго от 24 часа. Ето защо той ще може да извърви най-дълго разстояние и ще бъде победител в състезанието.
Допълнение за ХI-ХII клас
Воините, тръгнали на север и юг, изминават път:
където е скоростта им на движение, а е продължителността на слънчевото денонощие.
Нека е пътят, изминат от воина, който е тръгнал на изток, а е времето от изгрева на Слънцето при тръгването му от двореца до следващия изгрев, който той вижда.
В момента, в който той стига до края на своя път и вижда втория изгрев на Слънцето, за наблюдател в двореца то още не е изгряло — до изгрева му остава още време:
където е радиусът на Земята.
От (1), (2) и (3) получаваме:
По аналогичен начин за пътя, изминат от воина, тръгнал на запад, получаваме:
Бележка
За решаването на някои от задачите са необходими астрономически величини, които трябва да намерите в справочна литература.
Краен срок за предаване на решенията 20 декември 2001 г.
Оригинал в Архива: 02-I-1112.docx · официални решения: a02-I.docx