Съдържание

НОА 2002, IV кръг, Младша възраст — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2002

V Национална олимпиада по астрономия, IV (подборен) кръг, 27 юли 2002 г., гр. Силистра, младша възраст (до 15 г.) · 27 юли 2002 г.

Условие

Млад астроном любител от Силистра бил така настроен в режим на нощно бъдърстване, че най-много обичал да си поспива сутрин до обяд. Понеже ходел на училище, това не винаги било възможно и той с нетърпение очаквал съботните предиобеди, когато с най-сладък сън спял от $9^h$ до $12^h$ . Астрономът бил роден през февруари и той бил любимият му месец.

• Какъв е максималният възможен брой предиобеди в събота, които любителят астроном можел да прекара в сън от $9^h$ до $12^h$ през февруари?

• След като веднъж нашият астроном е успял да се наспи в максимален брой февруарски съботни предиобеди, колко години по-късно ще му се удаде следващият подобен случай?

Отговори

Решение

Ясно е, че годината трябва да е високосна и февруари да има 29 дни, като първият и последният от тях са събота. Така ще има 5 съботи през февруари, в които сънливият астроном любител ще може да си поспи от $9^h$ до $12^h$ сутринта.

Ако е добре подготвен по астрономия, той може да си удължи удоволствието два пъти. Трябва само всеки петък да пътува до 180°-тия меридиан (линия на смяна на датите) и да прекарва един съботен предиобед западно от меридиана, а на следващия ден още един съботен предиобед източно от меридиана.

Ако обаче нашият любител е участвал в школа за подготовка за Международна олимпиада по астрономия, той може да постигне рекордни резултати. В петък трябва да пътува до един от полюсите на Земята. В събота от $9^h$ до $12^h$ трябва да спи западно от до 180°-тия меридиан. После трябва да се премести през два часови пояса в третия, където е пак събота, $9^h$ , и да спи там отново до $12^h$ – още 3 часа. Повтаряйки тази процедура 24 : 3 = 8 пъти, астрономът ще стигне пак до 180°-тия меридиан и там може да си поспи още 3 часа от източната му страна. Така астрономът ще е имал 9 съботни предиобеда и ще е спал 27 часа! Същото може да направи и следващата събота. По този начин за месец февруари ще му се съберат 5 × 9 = 45 съботни предиобеда.

За да се случи същото в друга година, тя трябва да е високосна и в нея февруари пак да започва със събота. Това означава, че и всички други дати от тази година ще се случват в същите дни, както при първата разглеждана година. Понеже дните от седмицата се редуват в седемдневен период, а високосните години – в 4-годишен период, това може да се случи след:

7 \times 4 = 28 \text{ години.}

Нобходимо е да се отбележи, че този метод на пресмятане е приложим, само защото броят на дните в една обикновена (невисокосна година) е число, което се дели на 7 с остатък 1:

365 \text{ дни} = 52 \times 7 + 1 \text{ ден}

Поради това, ако една невисокосна година започва примерно в понеделник, то началото на следващата година ще е изместено точно с един ден напред – тя ще започне във вторник. Ако броят на дните в обикновената годината беше число, което се дели на 7 с остатък, различен от 1, то високосните години с февруари, започващ в събота, нямаше да се редуват през 28 години. Закономерността щеше да е по-сложна.

Оригинал в Архива: NOA4_2002_MLproblems.pdf · официални решения: NOA4_2002_MLsolutions.pdf