Съдържание

НОА 2002, IV кръг, Старша възраст — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2002

V Национална олимпиада по астрономия, IV (подборен) кръг, 27 юли 2002 г., гр. Силистра, старша възраст (15 – 17 г.) · 27 юли 2002 г.

Условие

Затъмненията на спътниците на Юпитер теоретично би трябвало да се повтарят през еднакви интервали от време. В действителност те се наблюдават с все по-големи закъснения, когато Юпитер от противостояние отива към дъединение със Слънцето, а след това закъсненията започват да намаляват. Към следващото противостояние наблюдаваните моменти на затъмнения отново съвпадат с теоретичните. Използвайки това, през XVII век датският астрономо Рьомер направил първия успешен опит за определяне на скоростта на светлината.

• Изчислете скоростта на светлината, като знаете, че най-голямото наблюдавано закъснение на затъмненията е $998^\mathrm{s}$ . Юпитер е на 5.203 AU от Слънцето, 1 AU = $149.6 \times 10^6$ km. Наблюдения са възможни при минимално ъглово отстояние на Юпитер от Слънцето $10°$ . Наклонът на орбитата на Юпитер към еклиптиката не се отчита.

• Моментът на началото на затъмнението се отчита с неточност около $4^\mathrm{s}$ . С каква грешка се пресмята скоростта на светлината?

Отговори

Решение

Първо определяме разстоянието от Земята до Юпитер, когато Юпитер е на ъглово отстояние $\varphi = 10°$ от Слънцето.

На чертежа S е Слънцето, T е Земята, P е положението на Юпитер в опозиция, C – в съединение, а A – когато е на ъгъл $\varphi$ от Слънцето.

ST = a_З = 1\ \text{AU} = 149.6 \times 10^6\ \text{km}

SC = a_Ю = 5.203\ \text{AU}

Търсим разстоянието TA.

В триъгълника TAS спускаме височината $ST'$ и пресмятаме:

ST' = a_З \sin\varphi \qquad (1)

TT' = a_З \cos\varphi \qquad (2)

В триъгълника $ST'A$ :

T'A = (SA^2 - ST'^2)^{1/2}

\Rightarrow T'A = (a_Ю^2 - a_З^2 \sin^2\varphi)^{1/2} \qquad (3)

TA = TT' + T'A \qquad (4)

От (4) като заместим резултатите от (2) и (3) получаваме:

TA = a_З \cos\varphi + (a_Ю^2 - a_З^2 \sin^2\varphi)^{1/2}

TA = 6.1849\ \text{AU} \qquad (5)

При наблюдение на затъмненията в спътниковата система на Юпитер в моментите около противостояние няма закъснение в сравнение с теоретичните предсказания. Тогава разстоянието от Земята до Юпитер е:

TP = a_Ю - a_З = 4.203\ \text{AU} \qquad (6)

Закъснението от 998 s възниква поради разликата между разстоянията TA и TP:

TA - TP = 1.9819\ \text{AU} = 296.49 \times 10^6\ \text{km}

Светлината изминава това разстояние за 998 s със скорост:

c = (296.49 \times 10^6\ \text{km}) / 998\ \text{s} = 297\,084\ \text{km/s} \qquad (7)

Грешката при определянето на момента на затъмнение е 4 s. Следователно закъснението на затъмнението е $998 \pm 4$ s, т.е. закъснението най-вероятно е в интервала $994 \div 1002$ s. С която и от тези две стойности да пресметнем скоростта на светлината по формула, подобна на (7), ще получим резултат за c, който се отличава от средния ( $c = 297\,084$ km/s) с около 1200 km/s, т.е. с приблизително 0.4%. Това е малка грешка, но тя ни показва, че трябва да закръглим средния резултат до $c = 297\,000$ km/s, защото последните 3 значещи цифри не са достоверни.

Неточността при определянето на момента на затъмненията произтича от следните причини:

Спътниците на Юпитер имат определени диаметри и навлизат постепенно в сянката на планетата, така че блясъкът им не изчезва изведнъж.
Плавното намаляване на блясъка се дължи и на това, че границата на сянката на Юпитер не е рязка, а размита поради атмосферата на планетата.

Оригинал в Архива: NOA4_2002_STproblems.pdf · официални решения: NOA4_2002_STsolutions.pdf