Съдържание

НОА 2005, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2005

VIII Национална олимпиада по астрономия 2005, III кръг, ученици 11-12 клас · 5 март 2005 г.

Условие

На фигурата е дадена орбитата на звезда около невидимия обект, който се намира в центъра на нашата Галактика. Орбитата е получена в резултат от десетгодишни наблюдения в инфрачервени лъчи с 8.2-метровия телескоп Йепун – един от четирите големи телескопи на Европейската южна обсерватория в Чили. Изключително високата разделителна способност е постигната с помощта на специална система за адаптивна оптика и комбиниране с много точни радионаблюдения.

Положението на централния обект Sgr A* е отбелязано с кръстче, заградено в кръг. Въз основа на данните от фигурата приведете аргументи в полза на твърдението, че този централен обект представлява черна дупка. Приемете, че наклонът на голямата ос на действителната орбита на звездата към плоскостта на чертежа е около 40º.

Снимка на централната област на Галактиката в инфрачервени лъчи и диаграма на орбитата на звездата S2 около Sgr A* с датирани положения и мащабна отсечка 0.05 дъгови секунди (2 светлинни дни).

Справочни данни:

Маса на Слънцето – $2 \times 10^{30}$ kg
Гравитационна константа – $6.67 \times 10^{-11}$ m $^3$ / kg.s $^2$

Отговори

Решение

Фигурата от условието: негативно изображение в инфрачервени лъчи (NACO May 2002) със S2 и SgrA* и вдясно орбитата на S2 около Sgr A* с отбелязани положения по дати и мащаб 0.05' (2 светлинни дни). — The Motion of a Star around the Central Black Hole in the Milky Way

На фигурата е представена проекцията на действителната орбита на звездата върху равнина, перпендикулярна на зрителния лъч за земния наблюдател. Но от разположението на централния обект се вижда, че голямата ос на проектираната орбита е близка до проекцията на голямата ос на истинската елипса. Дължината на голямата полуос на проекцията $a'$ може да е по-малка или равна на голямата полуос на действителната елипса $a$ . По III закон на Кеплер:

\frac{a^3}{T^2} = \frac{\gamma M}{4\pi^2}

където $T$ е орбиталният период на звездата, а $M$ е масата на централния обект. Оттук може да се определи масата на този обект:

M = \frac{4\pi^2 a^3}{\gamma T^2}

Като имаме предвид, че $a' \le a$ , можем да напишем:

M \ge \frac{4\pi^2 a'^{\,3}}{\gamma T^2}

Приемаме, че $a = a'\big/\cos 40^\circ$ , и получаваме уточнена формула:

M = \frac{4\pi^2 a'^{\,3}}{\gamma T^2 \cos^3 40^\circ}

Орбиталният период определяме от фигурата. Както вече споменахме, голямата полуос на видимата орбита е съвсем малко отместена спрямо проекцията на голямата полуос на истинската орбита. Можем да смятаме, че от положението на звездата, наблюдавано около средата между моментите 1994.32 и 1995.53, и положението в момента 2002.33 е изминала приблизително половината от периода. Следователно $T \approx 15$ години. Величината $a'$ в километри определяме, като измерим голямата полуос на проектираната орбита в милиметри и използваме дадения на рисунката мащаб: $a' \approx 9.44\times10^{10}\,km$ . Получаваме:

M \approx 4.9\times10^{36}\,kg \approx 2.5\times10^{6}\ \text{слънчеви маси}

Също използвайки мащаба на чертежа, оценяваме минималното расстояние, на което звездата преминава от централния обект: $r_{\min} \approx 1.1\times10^{10}\,km\big/\cos 40^\circ \approx 1.4\times10^{10}\,km$ , или около 90 AU. Това е примерно колкото диаметъра на Слънчевата система.

Оценките ни показват, че в центъра на нашата Галактика се намира обект с маса, около 2.5 милиона пъти по-голяма от масата на Слънцето. Тя е съсредоточена в област от пространството с размери не по-големи от размерите на Слънчевата система. При всичко това, както се вижда от снимката вляво от чертежа, практически липсва излъчване на обекта в инфрачервена светлина, или ако има такова, то е по-слабо от излъчването на звездата, чиято орбита изследваме. Можем да предположим, че същото се отнася и до излъчването на обекта във видима светлина. Но както е известно, той е източник на радиоизлъчване, обозначаван като Sgr A. Всички тези аргументи подкрепят твърдението, че обектът представлява черна дупка. (Радиусът на Шварцшилд за черна дупка с получената тук маса е $R_S = \gamma M\big/c^2 \approx 3\times10^{6}\,km$ ).

Оригинал в Архива: NOA3_2005_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2005_11-12solutions.pdf