Съдържание

НОА 2005, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2005

VIII Национална олимпиада по астрономия 2005, III кръг, ученици 11-12 клас · 5 март 2005 г.

Условие

Недалеч от екватора на Марс е възможно да бъде наблюдавано затъмнение на Деймос от Фобос. Колко време продължава пълната фаза на затъмнението, ако то се случва в зенита на наблюдателя? Приемаме, че орбитите на двата спътника са кръгови и почти лежат в равнината на екватора на планетата.

Справочни данни:

Радиус на Марс – 3389.92 km
Период на въртене на Марс – $24^{h}37^{m}22^{s}.66$

Данни за спътниците на Марс

Спътник	Размер km	Радиус на орбитата km	Сидеричен орбитален период
Фобос	22.2	9378	$7^{h}39^{m}13^{s}.84$
Деймос	12.4	23459	$30^{h}17^{m}54^{s}.87$

Отговори

Решение

Продължителността на затъмението се определя от видимите ъглови размери и видимите ъглови скорости на двата спътника. Видимите ъглови скорости зависят от линейните скорости на спътниците, от разстоянието им до наблюдателя и от линейната скорост на наблюдателя. Когато затъмнението е в зенита, линейните скорости на двата спътника и на наблюдателя са успоредни и са насочени в една посока. Линейната скорост на наблюдателя е $v_0 = 2\pi R/T$ , където $R$ е радиусът на Марс, а $T$ е периодът му на околоосно въртене. Видимата ъглова скорост на всеки от спътниците е равна на разликата между линейната скорост на наблюдателя и линейната скорост на спътника, разделена на разстоянието от наблюдателя до спътника, т.е. на неговата височина:

\omega_1 = \frac{v_0 - v_1}{h_1}

\omega_2 = \frac{v_0 - v_2}{h_2}

където $\omega_1$ и $\omega_2$ са видимите ъглови скорости съответно на Фобос и Деймос, $v_1$ и $v_2$ са линейните им скорости, а $h_1$ и $h_2$ са височините им над марсианската повърхност.

h_1 = r_1 - R

h_2 = r_2 - R

където $r_1$ и $r_2$ са радиусите на орбитите на двата спътника. Ако орбиталните периоди на Фобос и Деймос са $T_1$ и $T_2$ , то:

v_1 = \frac{2\pi r_1}{T_1}

v_1 = \frac{2\pi r_2}{T_2}

Относителната ъглова скорост на единия спътник спрямо другия е:

\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1

По време на затъмнение Фобос трябва да измине относно Деймос ъглово разстояние:

\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1

Тук $\varphi_1 = D_1\big/h_1$ и $\varphi_2 = D_2\big/h_2$ , където $D_1$ и $D_2$ са размерите на Фобос и Деймос. Тогава ако с $t$ означим продължителността на затъмнението:

\Delta\omega = \Delta\varphi/t

Следователно:

t = \frac{\Delta\varphi}{\Delta\omega} = \frac{D_1 h_2 - D_2 h_1}{\left(v_0 - v_2\right)h_1 - \left(v_0 - v_1\right)h_2}

t \approx 11.8\ \text{sec}

Оригинал в Архива: NOA3_2005_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2005_11-12solutions.pdf