НОА 2005, IV кръг, Старша възраст — Задача 4

• $R = \frac{1}{2}D = \frac{d''}{2\times 206265}\left(r_3\cos\varphi + \sqrt{r_C^{\,2} - r_3^{\,2}\sin^{2}\varphi}\right) = 150000\ \text{km}$

  Фазовият ъгъл се получава от снимка 1: $\cos\varphi = y/(x+y) = 42/57$, $\varphi = 42^\circ.5$. Ъгловият диаметър на пръстените е $d'' = 39.8''$, а разстоянието Земя-Сатурн — $r = r_3\cos\varphi + \sqrt{r_C^{\,2} - r_3^{\,2}\sin^{2}\varphi}$.

Решение: Виждаме, че Сатурн е по посока на Луната. Следователно ъгълът на направлението към Сатурн спрямо направлението към Слънцето е същият, както и за Луната. Фазовият ъгъл на Луната може да се пресметне от фазата на Луната. Нека пренебрегнем ъгловите размери на Луната, гледана от Земята, и ъгловите размери на системата Земя-Луна, гледана от Слънцето. Построяваме точка Т, която се намира едновременно на терминатора и на екватора на Луната. Нека точка Q е центърът на лунния диск, а Q’ е на десния край на лунния диск и лежи на екватора. Нека означим QT = $y$ TQ’ = $x$. На Фиг. 3 ОА е направлението към Земята, а АТ е направлението към Слънцето. Тогава $\angle$ОАТ = $\varphi$ е фазовият ъгъл на Луната. От $\Delta$САТ и $\Delta$ОТС следва, че $\angle$САТ = $\angle$СТО = $\varphi$, като ъгли с взаимно перпендикулярни рамене. ОТ е радиусът на Луната и следователно ОТ = $x + y$. Триъгълник ОТС е правоъгълен и следователно $\cos\varphi = \dfrac{y}{x+y}$. От измерванията на снимка 1 получаваме $y = 42$ mm и $x + y = 57$ mm. Тогава $\varphi = 42^\circ.5$ .

(При прецизно построяване на схемата на Луната, гледана от северния полюс с направленията към Земята и Слънцето, можем да получим този ъгъл графично. Измерваме и получаваме $\varphi = 42^\circ$, което е в много добро съгласие с изчислената стойност за $\varphi$. )

На фиг. 4 правим принципна схема на орбитите на Земята и Сатурн. Направлението Земя-Сатурн е на ъгъл $\varphi$ от направлението към Слънцето. Нека $h$ е отсечка, спусната перпендикулярно от Слънцето към направлението Земя-Сатурн. Тя разделя отсечката Земя-Сатурн на две части – $n$ и $m$, като $r = n + m$, където $r$ е разстоянието Земя-Сатурн. От Фиг. 4 виждаме, че $h = r_3 \sin\varphi$, където $r_3 = 1\,\text{AU}$ е разстоянието от Земята до Слънцето, а $n = r_3\cos\varphi$ и следователно $m = \sqrt{r_C^{\,2} - h^{2}} = \sqrt{r_C^{\,2} - r_3^{\,2}\sin^{2}\varphi}$. Оттук следва, че $r = n + m = r_3\cos\varphi + \sqrt{r_C^{\,2} - r_3^{\,2}\sin^{2}\varphi}$. Остава да намерим ъгловия размер на пръстените на Сатурн. Връщаме се към снимка 1 и снимка 2. Нека:

• $D$ е диаметърът на пръстените на Сатурн в километри;
• $d$ е ъгловият диаметър на пръстените на Сатурн в радиани;
• $d''$ е ъгловият диаметър на пръстените на Сатурн в дъгови секунди;
• $d_1$ е диаметърът на пръстените на Сатурн в милиметри на снимка 1.

На снимка 1 обаче изображението на Сатурн е много малко, затова измерванията правим на снимка 2. За размера на пръстените на Сатурн получаваме $d_2 = 5$ mm. Измерваме и размерите на по-голям кратер на снимка 2 – $d_{k2} = 12.2$ mm. На снимка 1 размерът на същия кратер е $d_{k1} = 6$ mm. Следователно $d_1 = d_2\,\dfrac{d_{k1}}{d_{k2}} = 2.46$ mm.

Измерваме върху снимка 1 диаметъра на Луната и получаваме $d_L = 115$ mm. Даметърът на Луната в дъгови минути $d_L' = 31'$ е известен от условието на задачата. Тогава за пръстените на Сатурн получаваме:

Накрая за радиуса на пръстените на Сатурн получаваме:

което е добра оценка за видимия с малък телескоп размер на пръстените.

Снимка 1

Снимка 2

Фиг. 3

Фиг. 4