НОА 2005, IV кръг, Старша възраст — Задача 3. Брой звезди до дадена звездна величина

• $k' = \left(\frac{r_1}{r}\right)^{3} \approx 3.9 \qquad k'' = \left(\frac{r_1}{r}\right)^{2} \approx 2.5$

  От $E/E_1 = (r_1/r)^2 = 2.512$ следва $r_1/r = \sqrt{2.512} \approx 1.58$. При равномерно разпределение в пространството отношението е кубът на това число ($\approx 3.9$), а в плосък слой — квадратът му ($\approx 2.5$). От таблицата отношението $k$ намалява плавно от около 3.7 до 2.5, което показва, че близките звезди са разпределени почти равномерно в пространството, а по-далечните — все по-отчетливо в диска на Галактиката.

Решение: Нека $r$ и $r_1$ са разстоянията, на които видимите звездни величини на звездите са съответно $m$ и $m + 1$, а осветеностите, които те създават, са $E$ и $E_1$.

I случай.

Всички звезди със звездна величина, по-малка или равна на $m$, са разположени в сферичен обем с радиус $r$. Означаваме общият им брой с $N$. Аналогично с $N_1$ означаваме броя на звездите със звездна величина $m + 1$, разположени в сферичен обем с радиус $r_1$. Тъй като звездите са равномерно разпределени, то търсеното отношение е:

II случай.

Звездите със звездна величина, по-малка или равна на $m$, са разположени в диск с радиус $r$, който е част от плоския слой с дебелина $h$. Звездите със звездна величина не по-голяма от $m + 1$, са разположени в диск с радиус $r_1$. Тогава отоношението е:

От таблицата виждаме, че с нарастване на звездната величина отношението $k$ се изменя плавно от около 3.7 до 2.5. Това означава, че звездите в близките околности на Слънцето са почти равномерно разпределени в пространството, но при по-далечните звезди все по-отчетливо се проявява разпределението им в диска на Галактиката.