Съдържание

НОА 2006, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 5. Видима звездна величина на астероид в опозиция

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2006

IX Национална олимпиада по астрономия, II кръг, ученици от 11-12 клас · 19 февруари 2006 г.

Условие

В астероидната астрономия, за сравняване на фотометричните характеристики на малките планети и за предизчисляване на техния блясък, се въвежда т.нар. “абсолютна звездна величина”. Това е звездната величина на астероида, когато той се намира на една астрономическа единица (AU) от Слънцето и се наблюдава от хипотетичен наблюдател в центъра на Слънцето.

Нека абсолютната звездна величина на един астероид е $3.8^m$ . Каква е неговата видима звездна величина (за земен наблюдател) в опозиция, ако разстоянието от астероида до Слънцето е 2.98 AU?

Справочни данни:

Период на прецесия на земната ос – 26 000 години

Отговори

Решение

Решение:

Когато астероидът е на разстояние 1 AU от Слънцето, той има звездна величина $m_a = 3.8^m$ за наблюдател в центъра на Слънцето, т.е. наблюдателят е на разстояние от астероида също 1 AU. Осветеността, която създава Слънцето върху астероида, е пропорционална на $1\,/\,(1\ \text{AU})^2$ . Осветеността $E_a$ , която астероидът създава за наблюдател в центъра на Слънцето, е пропорционална на осветеността, създавана от Слънцето на астероида, и на $1\,/\,(1\ \text{AU})^2$ . Следователно $E_a \propto 1/(1AU)^4$ . На разстояние от Слънцето $r_1 = 2.98$ AU осветеността на повърхността на астероида е пропорционална на $1\,/\,r_1^2$ . Астероидът е в опозиция, което означава, че той се намира на разстояние от Земята $r_2 = r_1 - 1$ AU, и че е обърнат към нас практически изцяло с осветената си страна. За осветеността, създавана от астероида на Земята, можем да напишем:

E_1 \propto \frac{1}{r_1^{\,2}\left(r_1 - 1AU\right)^2}

Оттук следва, че:

\frac{E_a}{E_1} = r_1^{\,2}\left(r_1 - 1\right)^2

където $r_1$ се измерва в астрономически единици.

Да означим търсената звездна величина на астеоида с $m_1$ . Съгласно формулата на Погсон в логаритмичен вид:

\lg\frac{E_a}{E_1} = 0.4\left(m_1 - m_a\right)

Оттук и от по-горното равенство получаваме:

\lg\left(r_1^{\,2}\left(r_1 - 1\right)^2\right) = 0.4\left(m_1 - m_a\right)

m_1 = m_a + 5\lg r_1 + 5\lg\left(r_1 - 1\right)

m_1 \approx 7.65^m

Оригинал в Архива: NOA2_2006_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2006_11-12solutions.pdf