НОА 2006, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 2

• $\frac{\Delta r}{r} \approx 0.03$

  Земята е изместена от центъра на предполагаемата кръгова слънчева орбита с около 3% от радиуса ѝ.

Решение:

Астрономическата пролет започва на 21 март, лятото – на 22 юни, есента – на 23 септември, а зимата – на 22 декември. Това са средни дати, като действителните дати за всяка година могат да варират с един-два дни около тях, в зависимост от това колко години са изминали от последната високосна година. Приемаме, че в годината има 365 дни. Можем да пресметнем, че различните сезони имат приблизително следната продължителност:

Според древногръцките представи, за една година Слънцето прави една обиколка на фона на неподвижните звезди по кръговата си орбита около Земята, като се движи равномерно.

За начален момент на пролетта се счита моментът, когато Слънцето застане относно Земята в положение, при което земната ос е ориентирана спрямо Слънцето така, че терминаторът на Земята (линията, разделяща осветената част на земното кълбо и неосветената) да преминава през двата земни полюса. За земния наблюдател това става, когато Слънцето преминава през пролетната равноденствена точка – една от пресечните точки на небесния екватор с еклиптиката. Съответно есента започва, когато отново Слънцето застане относно Земята в подобно положение, но на противоположната страна на слънчевата орбита спрямо Земята. Това става, когато Слънцето преминава през есенната равноденствена точка, която е другата пресечна точка на небесния екватор с еклиптиката. Тъй като равноденствените точки са противоположни една на друга върху небесната сфера, то Земята трябва да лежи на правата, която ги свързва.

Лятото в северното полукълбо на Земята започва, когато земната ос е ориентирана спрямо Слънцето така, че Северният полюс да е най-добре огрят от него (за наблюдател на Северния полюс Слънцето да е в горна кулминация – най-високо над хоризонта). Това е точката на лятното слънцестоене. От прости геометрични съображения следва, че тази точка трябва да е в средата на дъгата от окръжността между началото на пролетта и началото на есента. Аналогично началото на зимата – точката на зимно слънцестоене – трябва да разполовява точно дъгата от другата страна на окръжността.

Както се вижда от продължителностите на сезоните, в действителност това се случва така само приблизително. Причините са в елиптичността на земната орбита, неравномерното движение на Земята по нея и несъвпадението на моментите на преминаване през перихелий и афелий с моментите съответно на зимно и лятно слънцестоене. Но все пак можем да приемем, че в древногръцкия модел Земята лежи приблизително в средата на хордата от кръговата слънчева орбита, която свързва пролетната и есенната равноденствени точки. Тази хорда дели окръжността на две неравни дъги. Нека пресметнем техните ъглови дължини. От пролетната до есенната равноденствена точка Слънцето изминава ъглово разстояние:

а от есенната до пролетната равноденствена точка $360^\circ - 183^\circ\!.45 = 176^\circ\!.55$.

На чертежа е представена кръговата орбита на Слънцето около Земята, като $r$ е нейният радиус, а $\Delta r$ разстоянието, с което Земята е изместена от центъра на орбитата. Ъгълът $\alpha$ съответства на половината от дъгата от есенната до пролетната равноденствена точка и е равен на $176^\circ\!.55\,/\,2$. За относителното изместване на Земята получаваме:

Следователно Земята е изместена от центъра на около 3% от радиуса на предполагаемата слънчева орбита.