НОА 2006, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 3. Кое светило изгрява по-бързо

• Зависи от мястото на наблюдение: на земните полюси (и близо до тях) по-бързо изгрява Луната; за наблюдателни пунктове достатъчно далеч от полюсите по правило по-бързо изгрява Слънцето, но има изключения – например когато Слънцето е близо до точка на слънцестоене ($\omega_S' \approx 13^\circ\!.76/h$), а Луната е върху небесния екватор ($\omega_L \approx 14^\circ\!.54/h$), по-бързо изгрява Луната.

  В решението числените стойности са $\omega_S' \approx 13^\circ\!.76/h$ и $\omega_L \approx 14^\circ\!.54/h$.

Решение:

Изгревите на Слънцето и Луната се наблюдават поради видимото денонощно движение на небесната сфера, което се дължи на околоосното въртене на Земята. Това, обаче, се отнася за наблюдателен пункт различен от земните полюси или техните близки околности. На полюсите или достатъчно близо до тях изгревите на Слънцето и Луната стават в резултат от видимото движение на тези два обекта на фона на звездното небе, за Слънцето – по еклиптиката, а за Луната – по проекцията на нейната околоземна орбита върху небесната сфера. Видимото годишно движение на Слънцето по еклиптиката се дължи на обикалянето на Земята около Слънцето. Видимото месечно движение на Луната на фона на звездите се дължи на обикалянето на Луната около Земята по орбита, която сключва много малък ъгъл с еклиптиката. Поради наклона на земния екватор към равнината на земната орбита около Слънцето, от всеки от земните полюси над хоризонта се вижда само половината от еклиптиката и съответно само половината от проекцията на лунната орбита върху небесната сфера. Ето защо Слънцето е над хоризонта само през половината от годината, а Луната – само половината от сидеричния лунен месец. Следователно слънчевият изгрев става веднъж годишно, а лунният – веднъж месечно. Видимото месечно движение на Луната по проекцията на нейната орбита очевидно става по-бързо, отколкото годишното движение на Слънцето по еклиптиката. Затова и изгревът на Луната на земните полюси става по-бързо, отколкото изгрева на Слънцето.

За да анализираме по-точно продължителността на изгревите на Слънцето и Луната за други наблюдателни пунктове, намиращи се достатъчно далеч от полюсите, също трябва да отчитаме годишното движение на Слънцето и месечното движение на Луната.

Видимото денонощно въртене на небесната сфера става от изток на запад. Видимото годишно движение на Слънцето по еклиптиката става от запад на изток. То е много по-бавно, но се наслагва върху видимото денонощно въртене и в резултат от това общото видимо денонощно движение на Слънцето от изток на запад се забавя. Същият ефект се наблюдава и при Луната. Нейното месечно движение на фона на звездите също е от запад на изток и също се наслагва върху денонощното въртене. Но месечното движение на Луната е по-бързо, отколкото годишното движение на Слънцето. Затова при Луната се получава по-голямо забавяне на видимото денонощно въртене от изток на запад. Следователно за такива наблюдателни пунктове изгревът на Слънцето става по-бързо, отколкото изгрева на Луната.

Има случаи, обаче, когато последният извод не е верен дори за местата, различни от полюсите. Нека си представим, че Слънцето се намира в някоя от точките на слънцестоене – зимно или лятно. Тогава то е отдалечено на $23.5^\circ$ от небесния екватор и се движи по денонощен паралел, който е кръг от небесната сфера, по-малък от небесния екватор. При денонощното въртене на небесната сфера всички паралели се въртят с еднаква ъглова скорост. Затова, когато Слънцето е върху такъв паралел, то ще се премества на ъглово разстояние, равно на един свой ъглов диаметър, за по-дълго време, отколкото ако се намира на небесния екватор. Следователно неговото видимо денонощно движение ще се извършва по-бавно. Нека предположим също, че Луната е на $90^\circ$ от Слънцето и се намира върху небесния екватор и споменатият ефект не влияе върху нейното видимо денонощно движение. Дали в този случай изгревът на Луната няма да става по-бързо от изгрева на Слънцето? Ако Слънцето е на небесния екватор, ъгловата скорост на видимото му денонощно движение е $\omega_S = 360^\circ/24^h$. С използването на продължителността на слънчевото денонощие ($24^h$), а не на звездното ($23^h56^m$), тук ние вече сме отчели годишното движение на Слънцето по еклиптиката. Когато Слънцето се намира на $23.5^\circ$ от небесния екватор, то скоростта на ъгловото му преместване по небето ще бъде $\omega_S' = \omega_S/\cos 23^\circ\!.5 \approx 13^\circ\!.76/h$. Когато Луната е върху небесния екватор, то нейната ъглова скорост на денонощно движение ще бъде равна на разликата от видимата ъглова скорост на денонощно въртене на небесната сфера с период едно звездно денонощие ($23^h56^m$) и ъгловата скорост на движение на Луната около Земята с период един сидеричен месец (27.3 денонощия):

Умножаването на втория член в дясната страна на равенството по $\cos 23^\circ\!.5$ е заради това, че видимото месечно движение на Луната се извършва по еклиптиката, която в равноденствените точки е под наклон $23^\circ\!.5$ към екватора. Тъй като в този случай Луната ще се движи видимо по небето от изток на запад по-бързо от Слънцето, то нейният изгрев също ще става по-бързо. Разглежданата ситуация не е единствената, при която Луната изгрява по-бързо от Слънцето. Това е възможно и при други конфигурации на Слънцето в определен интервал от позиции около точките на слънцестоене, а на Луната – около равноденствените точки.