НОА 2006, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4. Разстояние до разсеяния звезден куп Хияди
IX Национална олимпиада по астрономия, III кръг, ученици 11-12 клас · 13 май 2006 г.
Условие
Разполагате със схема на разсеяния звезден куп Хияди, на която, освен звездите, са нанесени векторите на собствените движения на звездите от района на купа. В таблицата са дадени лъчевите скорости и собствените движения на 10 избрани звезди, принадлежащи на звездния куп. Съществува метод за определяне на разстоянията до движещи се купове, според който е достатъчно да знаем лъчевите скорости и собствените движения на звездите, както и ъгловите им разстояния до радианта на купа, т.е. точката в пространството, от която или към която всички звезди от купа се движат.
Изведете формула, свързваща тези величини. В нея нека лъчевите скорости бъдат в [km/s], собствените движения в дъгови секунди на година, а разстоянието да се получава в парсеци.
От схемата на купа продължете векторите на собствените движения на 10 – 15 звезди до пресичането им в една неголяма област. Приемете, че центърът на тази област е радианта на купа.
Обърнете внимание, че системата от векторите е леко извита! Защо е така?
Внимателно определете ъгловите разстояния от радианта на купа до всяка една от подбраните звезди. Пресметнете, по получената от вас формула, разстоянието до всяка от избраните звезди и намерете средната величина, която е търсеното разстояние до звездния куп.
Разстояние до разсеяният звезден куп Хияди
Таблица 1: Наблюдавани величини и пресметнати разстояния до 10 избрани звезди от звездния куп Хияди
| Номер на звездата | Лъчева скорост (km/sec) | Ъгъл до радианта | Собствено движение на звездата (arcsec/year) | Разстояние в парсеци |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 31.6 | 0.151 | ||
| 2 | 31.0 | 0.121 | ||
| 3 | 36.6 | 0.124 | ||
| 4 | 38.3 | 0.114 | ||
| 5 | 43.8 | 0.120 | ||
| 6 | 38.2 | 0.098 | ||
| 7 | 39.3 | 0.100 | ||
| 8 | 38.6 | 0.108 | ||
| 9 | 43.6 | 0.079 | ||
| 10 | 38.8 | 0.065 | ||
| Средно разстояние : |
Отговори
Средно аритметично от разстоянията до десетте избрани звезди.
Решение
Решение:
Ъгълът между радианта на купа и посоката към една звезда от него е всъщност ъгълът между зрителния лъч и пространствената скорост на звездата. Тогава очевидно връзката между тангенциалната скорост и радиалната скорост е:
където φ е ъгловото разстояние от радианта до съответната звезда.
Собственото движение, изразено в [arcsec/sec] е:
където 206265 е броят на дъговите секунди в един радиан, а е в [km/s].
Собственото движение, изразено в [arcsec/год] е:
където е броят на секундите в една година.
Разстоянието в парсеци е:
където е броят на километрите в един парсек.
Получаваме:
От тук следва:
Това е формулата за пресмятане на разстоянията до звездите.
Дъгите, които свързват звездите с радианта на купа, са части от голям кръг. За разлика от тях небесните паралели са малки кръгове и в проекция върху равнината са извити в посока към небесния екватор. На схемата, обаче, паралелите са представени с прави линии и затова, по отношение на тях, големите кръгове са извити в противоположна посока.
При построяването на продълженията на векторите е добре това да се има предвид, защото в противен случай разстоянието до радианта ще бъде леко увеличено, което от своя страна, поради това, че ъгълът е аргумент на тангенсова функция, ще доведе до значително надценяване на разстоянието до купа. Определяме област с размери около 9 градуса за област на радиация и приемаме центъра й за вероятен радиант на Хиядите. Забелязваме, че мащабът по двете оси е различен, но ако той се коригира, продълженията на векторите ще станат още по-близки, по направление, до небесния екватор. Затова не обръщаме внимание на лекия наклон на векторите и измерваме разстоянията в мащаба на абсцисната ос. Нанасяме получените резултати в таблицата и по формулата пресмятаме разстоянията до звездите. Намираме средно аритметичната стойност, за която получаваме:
което е една добра оценка за разстоянието до купа.
Оригинал в Архива: NOA3_2006_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2006_11-12solutions.pdf