Съдържание

НОА 2006, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2006

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · IX НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · III кръг · 13 май 2006 г. · Ученици 7-8 клас · 13 май 2006 г.

Внимание: Бележка към темата

В печатния ключ множителите в таблицата за спътниците на Юпитер се различават от мащабите в съседния текст. И двете са запазени според източника.

Условие

На рисунката виждате диаграма, показваща видимите положения на четирите галилееви спътника на Юпитер – Йо, Европа, Ганимед и Калисто. Като използвате данните от диаграмата, направете подходящи измервания и определете възможно най-точно масата на планетата Юпитер.
Ако сте наблюдавали с телескоп Юпитер в 0ʰ на днешния ден, как би бил разположен относно планетата всеки един от спътниците? Нарисувайте схема.
Орбиталното движение на Юпитер, както и това на Земята да не се отчита.
Справочни данни:
Съгласно III закон на Кеплер, ако около космическо тяло с маса $M$ обикаля спътник с много по-малка маса, то

\frac{a^3}{T^2} = \frac{\gamma M}{4\pi^2}\ ,

където $a$ е голямата полуос на орбитата на спътника, $T$ е неговият орбитален период, а $\gamma = 6{,}67\times10^{-11}\ \mathrm{m^3/kg.s^2}$ е гравитационната константа.
Радиус на Юпитер – 71 500 км

Диаграма от 2006-APR-10 до средата на май с вълнообразни криви на четирите галилееви спътника; хоризонтална ос в радиуси на Юпитер от изток (положителни) до запад (отрицателни), вертикална ос с маркирани дати 20, 30, MAY-01, 11.

Отговори

Решение

Същата диаграма, като в условието на задачата.

Определяме мащабите на скалите на диаграмата. По скалата на разстоянията на 80 радиуса на Юпитер отговарят 82 мм. Мащабът е 80/82≈0.9756 радиуса на Юпитер на милиметър. По скалата на времето на 40 дни отговарят 151 мм. Мащабът е 40/151≈0.265 денонощия на милиметър.
Измерваме амплитудите на изменение на разстоянията от спътниците до центъра на Юпитер. Това са радиусите на орбитите на спътниците около Юпитер. За по-точни резултати амплитудата на изменение на разстоянието до Юпитер измерваме на няколко места и усредняваме резултатите. Получаваме:

Спътник	Радиус на орбитата r₀₀ в мм	Радиус на орбитата в радиуси на Юпитер, r₀ = r₀₀ × 0.769 рад.юп./мм
Йо	6	5.8536
Европа	9,5	9.2682
Ганимед	15	14.634
Калисто	27	26.3412

За да определим по-точно орбиталния период на даден спътник, измерваме общата продължителност на колкото е възможно повече периоди върху диаграмата и делим получената стойност на броя периоди. Например за Йо можем да измерим общата продължителност на 21 периода, за Европа – 10, за Ганимед – 5 и за Калисто – 2 периода. Резултатите са следните:

Спътник	Орбитален период T₀₀ в мм	Орбитален период в денонощия, T₀ = T₀₀ × 0.212 дни/мм
Йо	6,68	1.7702
Европа	13,4	3.551
Ганимед	27	7.155
Калисто	62,5	16.5625

От III закон на Кеплер:

\frac{a^3}{T^2} = \frac{\gamma M}{4\pi^2}

където M е масата на Юпитер, a е радиусът на орбитата на спътника, T е неговият орбитален период, а γ е гравитационната константа. Масата на Юпитер е:

M = \frac{4\pi^2 a^3}{\gamma T^2}

Чрез умножаване по радиуса на Юпитер в километри, превръщаме радиусите на орбитите на спътниците също в километри, а после и в метри. Превръщаме стойностите на орбиталните периоди от денонощия в секунди и заместваме в горната формула. За масата на Юпитер от данните за различните спътници получаваме:

Спътник	Маса на Юпитер
Йо	1.853×10²⁷ kg
Европа	1.828×10²⁷ kg
Ганимед	1.773×10²⁷ kg
Калисто	1.929×10²⁷ kg

Окончателно масата на Юпитер получаваме, като средно аритметично на тези резултатите – 1.846×10²⁷ kg.
Като пресечем диаграмата с хоризонтална линия, съответстваща на 0ʰ за датата на III кръг на астрономическата олимпиада (13 май), виждаме, че на този ден спътникът Европа е на изток от Юпитер, а Йо, Ганимед и Калисто са на запад, както е показано на схемата.

Спътниците разпознаваме по това, че в реда Йо, Европа, Ганимед, Калисто, те са подредени по нарастване на отдалечеността им от Юпитер.

Схема на линия: Европа — Юпитер (кръг) — Йо — Ганимед — Калисто.

Оригинал в Архива: NOA3_2006_7-8problems.pdf · решение от архива: NOA3_2006_7-8solutions.pdf