Съдържание

НОА 2006, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2006

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · IX НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · III кръг · 13 май 2006 г. · Ученици 9-10 клас · 13 май 2006 г.

Внимание: Бележка към темата

Печатният ключ съдържа несъответствия между мащабите в текста и таблицата за спътниците на Юпитер и между словесното обяснение за яркостта и използваната зависимост. Стойностите, формулите и печатните грешки са запазени.

Условие

2 задача. През 2004 година наблюдавахме рядко астрономическо явление – преминаване (пасаж) на Венера пред видимия слънчев диск. Възможно е също и покритие на Венера от Слънцето.
Оценете времето, за което при покритие на Венера от Слънцето, видимият диск на Венера се скрива зад края на слънчевия диск, т.е. времето от първия до втория контакт. Приемете, че покритието е централно.
Пояснение: Първи контакт е моментът в началото на покритието, в който видимият диск на Венера за първи път се допира външно към видимия диск на Слънцето. Втори контакт е моментът, в който започва пълното покритие на Венера, или нейният видим диск за първи път изцяло се е скрил зад видимия слънчев диск.

Справочни данни:
Радиус на орбитата на Земята около Слънцето – 150 000 000 км
Радиус на орбитата на Венера около Слънцето – 108 000 000 км
Радиус на Венера – 6 050 км

Отговори

Решение

Решение:
Означаваме радиусите на орбитити на Земята и Венера съответно с $a$ и $a_1$ , а орбиталните им периоди – с $T$ и $T_1$ . От III закон на Кеплер намираме орбиталния период $T_1$ на Венера около Слънцето:

\frac{a_1^3}{a^3} = \frac{T_1^2}{T^2}

T_1 = T\sqrt{\frac{a_1^3}{a^3}} \approx 0.611\ \text{години}

I начин:
При покритието на Венера от Слънцето планетата започва да навлиза зад видимия слънчев диск от западната му страна. Да си представим права линия, минаваща през земния наблюдател и допирателна към западната страна на Слънцето. Поради движението на Земята около Слънцето, тази линия също се движи. Тя се върти с ъглова скорост, равна на ъгловата скорост $\omega$ на Земята около Слънцето.

\omega = \frac{2\pi}{T}

Центърът на въртене е точка от повърхността на Слънцето. Поради малките размери на Слънцето и на Венера в сравнение с разстоянието до Венера, може да приемем, че центърът на въртене е в центъра на Слънцето. Ъгловата скорост на Венера спрямо Слънцето е

\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}

Ъгловата скорост на Венера спрямо линията Земя – Слънце е:

\omega_1' = \omega_1 - \omega

Тогава времето за пресичане на тази линия от Венера е равно на ъгловите размери на планетата $\alpha$ , спрямо центъра на Слънцето, разделени на получената ъглова скорост:

t = \frac{\alpha}{\omega_1'} = \frac{2R}{a_1(\omega_1 - \omega)}

където $R$ е радиусът на Венера.
Окончателно получаваме:

t = \frac{2RTT_1}{2\pi a_1 (T - T_1)}

t \approx 14.7\ \mathrm{min}

Същото може да се получи и така:
Линейната скорост на пресечната точка на тази права с орбитата на Венера е:

v' = \omega a_1 = \frac{2\pi a_1}{T}

Линейната скорост на самата Венера по нейната орбита е:

v_1 = \frac{2\pi a_1}{T_1}

Относителната скорост, с която се движи Венера спрямо пресечната точка на въртящата се права линия с орбитата на планетата е:

v_1' = v_1 - v'

Тогава търсеното от нас време за скриване на видимия диск на Венера зад Слънцето е:

t = \frac{2R}{v_1'}

t = \frac{2RTT_1}{2\pi a_1 (T - T_1)}

t \approx 14.7\ \mathrm{min}

Схема на орбитите на Венера и Земята около Слънцето с отбелязани планетите.

II начин:
В горно съединение относителната линейна скорост на Венера спрямо Земята е:

u = v_1 + v

където $v = 2\pi a/T$ и $v_1 = 2\pi a_1/T_1$ са съответно линейните скорости на Земята и на Венера по техните орбити. Видимата ъглова скорост на Венера на фона на звездите за земния наблюдател ще бъде:

\omega_1 = \frac{u}{a + a_1}

Видимата ъглова скорост на Венера относно Слънцето за земния наблюдател ще бъде:

\omega_1' = \omega_1 - \omega_S

където $\omega_S = 2\pi/T$ е ъгловата скорост на годишното движение на Слънцето по еклиптиката.
Търсеното време за скриването видимия диск на Венара зад Слънцето е:

t = \frac{2R}{(a + a_1)\omega_1'}

Като заместим стойностите от горните равенства, получаваме:

t = \frac{2RTT_1}{2\pi a_1 (T - T_1)}

t \approx 14.7\ \mathrm{min}

Оригинал в Архива: NOA3_2006_9-10problems.pdf · решение от архива: NOA3_2006_9-10solutions.pdf