НОА 2006, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 3
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · IX НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · III кръг · 13 май 2006 г. · Ученици 9-10 клас · 13 май 2006 г.
Внимание: Бележка към темата
Печатният ключ съдържа несъответствия между мащабите в текста и таблицата за спътниците на Юпитер и между словесното обяснение за яркостта и използваната зависимост. Стойностите, формулите и печатните грешки са запазени.
Условие
3 задача. Замечтан метеорен наблюдател гледа звездното небе и си мисли за едно желание. Дълго време не може да си го пожелае, защото не се появяват метеори. Вместо тях, при него идва добра вълшебница и му предсказва, че желанието ще се сбъдне. После леко излита нагоре и миг преди да изчезне, пуска облак от милион частици звезден прах. Звездната величина на облака е . Малко по-късно една прашинка пада в ръката на наблюдателя и от разстояние 30 см свети за него като звездичка от 3-та звездна величина.
На каква височина е изчезнала вълшебницата?
При появата си облакът по своята повърхностна яркост е подобен на Млечния път. Колко пъти се е изменила тази яркост, когато облакът се е спуснал на половината от първоначалната си височина?
Отговори
- H = 300 m; повърхностната яркост не се изменя (остава подобна на Млечния път).
Решение
Решение:
Щом облакът е от милион (1 000 000) частици, значи на разстояние 30 см от наблюдателя целият облак би имал 1 000 000 пъти по-силен видим блясък, отколкото една своя частица. На височината , на която е изчезнала вълшебницата, целият облак е имал същия видим блясък (), както една прашинка на разстояние 30 см. Следователно на височината облакът е имал видим блясък, 1 000 000 пъти по-слаб, отколкото би имал на разстояние 30 см. Видимият блясък на един светещ обект е обратно пропорционален на квадрата на разстоянието до него. Ето защо височината трябва да е пъти по-голяма от 30 см, или метра.
Повърхностната яркост на един светещ обект е осветеността, създавана от единица площ на обекта, изразена в ъглови мерки (примерно квадратни градуси). При приближаване на обекта към наблюдателя, общият му блясък ще нараства обратно пропорционално на разстоянието до него. Същевременно, обаче, ще се увеличава неговата видима площ в ъглови мерки. Това увеличение ще бъде също обратно пропорционално на квадрата на разстоянието до обекта. Така че, в крайна сметка повърхностната яркост на обекта ще остава неизменна, защото увеличеният общ блясък на обекта ще се разпределя върху също толкова пъти по-голяма видима ъглова площ. В заключение, когато облакът от звезден прах се е спуснал на половината от първоначалната си височина, той също ще е бил подобен по повърхностна яркост на Млечния път, само че ще бъде с по-голям видим размер.
Оригинал в Архива: NOA3_2006_9-10problems.pdf · решение от архива: NOA3_2006_9-10solutions.pdf