Съдържание

НОА 2006, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2006

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · IX НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · III кръг · 13 май 2006 г. · Ученици 9-10 клас · 13 май 2006 г.

Внимание: Бележка към темата

Печатният ключ съдържа несъответствия между мащабите в текста и таблицата за спътниците на Юпитер и между словесното обяснение за яркостта и използваната зависимост. Стойностите, формулите и печатните грешки са запазени.

Условие

4 задача. На рисунката виждате диаграма, показваща видимите положения на четирите галилееви спътника на Юпитер – Йо, Европа, Ганимед и Калисто. Като използвате данните от диаграмата, направете подходящи измервания и определете възможно най-точно масата на планетата Юпитер.
Ако сте наблюдавали с телескоп Юпитер в $0^{\mathrm{h}}$ на днешния ден, как би бил разположен относно планетата всеки един от спътниците? Нарисувайте схема.
Орбиталното движение на Юпитер, както и това на Земята да не се отчита.

Справочни данни:
Гравитационна константа $\gamma = 6.67\times10^{-11}\ \mathrm{m^3/kg.s^2}$ .
Радиус на Юпитер 71 492 км

Диаграма на видимите положения на четирите галилееви спътника на Юпитер от 2006-APR-10 до средата на май: синусоиди в радиуси на Юпитер по хоризонталната ос (изток наляво от 40 до -40, запад надясно), време по вертикалната ос с маркирани 20, 30, MAY-01 и 11.

Отговори

Решение

Същата диаграма на видимите положения на галилеевите спътници на Юпитер, повторена в решенията.

Решение:
Определяме мащабите на скалите на диаграмата. По скалата на разстоянията на 80 радиуса на Юпитер отговарят 82 мм. Мащабът е $80/82 \approx 0.9756$ радиуса на Юпитер на милиметър. По скалата на времето на 40 дни отговарят 151 мм. Мащабът е $40/151 \approx 0.265$ денонощия на милиметър.
Измерваме амплитудите на изменение на разстоянията от спътниците до центъра на Юпитер. Това са радиусите на орбитите на спътниците около Юпитер. За по-точни резултати амплитудата на изменение на разстоянието до Юпитер измерваме на няколко места и усредняваме резултатите. Получаваме:

Спътник	Радиус на орбитата $r_{00}$ в мм	Радиус на орбитата в радиуси на Юпитер, $r_0 = r_{00} \times 0.769$ рад.юп./мм
Йо	6	5.8536
Европа	9,5	9.2682
Ганимед	15	14.634
Калисто	27	26.3412

За да определим по-точно орбиталния период на даден спътник, измерваме общата продължителност на колкото е възможно повече периоди върху диаграмата и делим получената стойност на броя периоди. Например за Йо можем да измерим общата продължителност на 21 периода, за Европа – 10, за Ганимед – 5 и за Калисто – 2 периода. Резултатите са следните:

Спътник	Орбитален период $T_{00}$ в мм	Орбитален период в денонощия, $T_0 = T_{00} \times 0.212$ дни/мм
Йо	6,68	1.7702
Европа	13,4	3.551
Ганимед	27	7.155
Калисто	62,5	16.5625

От III закон на Кеплер:

\frac{a^3}{T^2} = \frac{\gamma M}{4\pi^2}

където $M$ е масата на Юпитер, $a$ е радиусът на орбитата на спътника, $T$ е неговият орбитален период, а $\gamma$ е гравитационната константа. Масата на Юпитер е:

M = \frac{4\pi^2 a^3}{\gamma T^2}

Чрез умножаване по радиуса на Юпитер в километри, превръщаме радиусите на орбитите на спътниците също в километри, а после и в метри. Превръщаме стойностите на орбиталните периоди от денонощия в секунди и заместваме в горната формула. За масата на Юпитер от данните за различните спътници получаваме:

Спътник	Маса на Юпитер
Йо	1.853×10²⁷ kg
Европа	1.828×10²⁷ kg
Ганимед	1.773×10²⁷ kg
Калисто	1.929×10²⁷ kg

Окончателно масата на Юпитер получаваме, като средно аритметично на тези резултати – $1.846\times10^{27}$ kg.
Като пресечем диаграмата с хоризонтална линия, съответстваща на $0^{\mathrm{h}}$ за датата на III кръг на астрономическата олимпиада (13 май), виждаме, че на този ден спътникът Европа е на изток от Юпитер, а Йо, Ганимед и Калисто са на запад, както е показано на схемата.

Хоризонтална схема: точки Европа, Юпитер (голям кръг), Йо, Ганимед, Калисто от ляво надясно.

Спътниците разпознаваме по това, че в реда Йо, Европа, Ганимед, Калисто, те са подредени по нарастване на отдалечеността им от Юпитер.

Оригинал в Архива: NOA3_2006_9-10problems.pdf · решение от архива: NOA3_2006_9-10solutions.pdf